Blow-up Analysis and Classification Theorems for Solutions to Semi-linear Elliptic Equations

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Material Information

Title:
Blow-up Analysis and Classification Theorems for Solutions to Semi-linear Elliptic Equations
Physical Description:
1 online resource (120 p.)
Language:
english
Creator:
Gluck, Mathew R
Publisher:
University of Florida
Place of Publication:
Gainesville, Fla.
Publication Date:

Thesis/Dissertation Information

Degree:
Doctorate ( Ph.D.)
Degree Grantor:
University of Florida
Degree Disciplines:
Mathematics
Committee Chair:
ZHANG,LEI
Committee Co-Chair:
GROISSER,DAVID JOEL
Committee Members:
PILYUGIN,SERGEI S
DE LEENHEER,PATRICK
JURY,MICHAEL THOMAS
JIANG,HUABEI

Subjects

Subjects / Keywords:
blow-up -- elliptic -- semi-linear
Mathematics -- Dissertations, Academic -- UF
Genre:
Mathematics thesis, Ph.D.
bibliography   ( marcgt )
theses   ( marcgt )
government publication (state, provincial, terriorial, dependent)   ( marcgt )
born-digital   ( sobekcm )
Electronic Thesis or Dissertation

Notes

Abstract:
The focus of this work is the analysis of semi-linear elliptic PDE related to prescrbed-curvature problems or having critical Sobolev nonlinearities. Three main theorems will be given, one in each chapter. In the first chapter, a precise asymptotic profile for a sequence of blow-up solutions to a prescribed-Gaussian-curvature equation will be obtained. In the second chapter, a Harnack-type inequality will be obtained for a prescribed-scalar-curvature equation on a domain with boundary. As a corollary to the Harnack-type inequality, an energy estimate for solutions to the prescribed-scalar curvature PDE is obtained. In the final chapter, a classification theorem is given for positive solutions of a semi-linear elliptic system of PDE on the upper half of Euclidean space.
General Note:
In the series University of Florida Digital Collections.
General Note:
Includes vita.
Bibliography:
Includes bibliographical references.
Source of Description:
Description based on online resource; title from PDF title page.
Source of Description:
This bibliographic record is available under the Creative Commons CC0 public domain dedication. The University of Florida Libraries, as creator of this bibliographic record, has waived all rights to it worldwide under copyright law, including all related and neighboring rights, to the extent allowed by law.
Statement of Responsibility:
by Mathew R Gluck.
Thesis:
Thesis (Ph.D.)--University of Florida, 2014.
Local:
Adviser: ZHANG,LEI.
Local:
Co-adviser: GROISSER,DAVID JOEL.

Record Information

Source Institution:
UFRGP
Rights Management:
Applicable rights reserved.
Classification:
lcc - LD1780 2014
System ID:
UFE0046635:00001


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Full Text

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w k H k (0) w k H k (0) = B 1 B + 1 R n + K i ( x i ) K i ( x i ) K i ( x i ) K i ( x i ) u 1 u m

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T

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" u + V ( x ) e u =0 x # $ R 2 g u + he u M he u d % 1 # =0 M ( M g ) h " g g ( M g ) S 2 =8 # S 2

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( u k V k ) $ % & % u k + V k ( x ) e u k =0 x # k V k ( x ) e u k dx < C V k $ R 2 u k (0)= x u k ( x ) &' u k a 1 a n # V k e u k $ n ( j =1 % j & a j & & % j ( 4 # j V k V % j 8 # 8 # a j p j k u k a j k &' p j k 8 # V k a j % j =8 # N u k V k ) 1 e u k $ 8 # N & 0 u k k x y ! | u k ( x ) % u k ( y ) | C 0

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0 # ! = B 1 k ( x )=8 # ( ( ( x 0) % ( (0 0)) % ! ! G !) ( x ) % G !) (0 ) # u k ( ) dS G % ( G A > 0 k V k 1 A V k ( x ) A x # + V k + C 3 ( ) A & k = e # u k (0)/2 & k & 0 $ R 2 u k k V k u k ( x )= e u k (0) 1+ V k (0) 8 e u k (0) | x # q k | 2 2 + k ( x ) % 8 ( V k )(0) V k (0) & 2 k ( (2+ & # 1 k | x | )) 2 + O ( & 2 k ( & # 1 k )) q k =2 & 2 k V k (0)/ V 2 k (0)+ O ( & 3 k ) u k % k | ( V k + k )( q k ) | = O ( & 2 k ( & # 1 k ))

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! = B 1 u k V k (0) & 8 B 1 $ % & % + k ( x )=0 x # B 1 + k ( x )= u k ( x ) % 1 2 # B 1 u k dSx # B 1 + k (0)=0 + + k + C 2 ( K ) = O (1) K $ B 1 & k = e # u k (0)/2 v k ( y )= u k ( & k y )+2 & k % + k ( & k y ) | y | < & # 1 k v k C 2 ( R 2 ) U ( y )= % 2 (1+ | y | 2 ) p k = (1) v k 0= v k (0) v k ( p k )= O ( & k | p k | ) u k ( & k p k ) + k ( & k p k ) v k p k v k ( y )= v k ( y + p k )= u k ( & k ( y + p k ))+2 & k % + k ( & k ( y + p k )) y # # k

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# k = { y # R 2 : y + p k # B $ 1 k } v k $ % % % % % % % & % % % % % % % v k + H k ( & k y ) e v k =0 y # # k v k (0)= O ( & k | p k | ) v k (0)=0 v k ( y )= c ( k ) # k H k ( & k y )= V k ( & k ( y + p k )) e % ( $ k ( y + p k )) c ( k ) k v k U k ( y )= v k (0) % 2 1+ H k (0) 8 | y | 2 # $ % % % % % % % & % % % % % % % U k + H k (0) e U k = O ( & k | p k | )(1+ | y | ) # 4 R 2 U k (0)= v k (0) U k (0)=0 U k % U = (1) R 2 v k (0)= O ( & k | p k | ) w k ( y )= v k ( y ) % U k ( y ) w k + H k ( & k y ) e v k % H k (0) e U k = O ( & k | p k | )(1+ | y | ) # 4 y # # k w k (0)=0= | w k (0) | # k w k = O ( & k | p k | ) w k # k U k # k

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w k H k (0) w k H k (0) > 0 C > 0 w k ( y ) C + (1+ | y | ) y # # k e & k ( y ) =( v k % U k ) # 1 1 0 d dt e tv k ( y )+(1 # t ) U k ( y ) dt H k (0) % H k ( & k y )= O ( & k | y | ) w k ( y )+ H k (0) e & k w k = O ( & k )(1+ | y | ) # 3 y # # k w k 0 < < 1 C > 0 | w k ( y ) | C & k (1+ | y | ) 0 < ,< 1 $ k = y # k | w k ( y ) | $ k (1+ | y | ) $ k y k # # k $ k &' w k ( y )= w k ( y ) $ k & k (1+ | y k | )

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$ k &' w k $ % % % % % % % & % % % % % % % w k ( y )+ H k (0) e & k w k ( y )= (1) (1+ | y | ) ! 3 (1+ | y k | ) y # # k w k (0)=0= | w k (0) | | w k ( y ) | (1+ | y | ) (1+ | y k | ) y # # k # k w k = (1) . w k # k w k w k w $ % % % % & % % % % w +8 e U w =0 R 2 w (0)=0= | w (0) | | w ( y ) | (1+ | y | ) R 2 w k & w C 2 ( R 2 ) w ) 0 { y k } { y k } { y k } y $ y k & y $ y $ 1= | w k ( y k ) | & | w ( y $ ) | =0 { y k } | y k | &' G k % # k 1= w k ( y k ) % w k (0) = % # k ( G k ( y k ) % G k (0 ))" w k ( ) d % # k ! G k !) ( y k ) % G k !) (0 ) # w k ( ) dS

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) # k w k # k w k = (1) # k (1) e & k C (1+ | | ) # 4 | w k ( ) | C (1+ | | ) /(1+ | y k | ) w k % w k ( )= (1) (1+ | | ) # 3 (1+ | y k | ) + O (1) (1+ | | ) 2 # 4 (1+ | y k | ) | y k | &' p k p k v k p k = % 2 $ k H k (0) + k (0)+ O ( & 2 k ) # k w k = O ( & 2 k ) v k (0)= O ( & 2 k ) w k H k (0) H k (0) w k H k (0) w k w k ( y )= O ( & 2 k ) | y | = & # 1 k /2 % # k G k ( y )= % 1 2 # | y % | + 1 2 # | + p k | & # 1 k ) ) ) ) & # 2 k ( + p k ) | + p k | 2 % ( y + p k ) ) ) ) ) #

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U k B H k (0) e U k ) .% 1 2 | U k | 2 ) + U k !! U k !) # dS y = O ( & 3 k ) v k (0)= O ( & 2 k ) | U k ( y ) | = O ( & k ) | y | = & # 1 k /2 O ( & k ) -! H k (0) = O ( & k ) B | w k ( y ) | dS y + O ( & 3 k ( & # 1 k )) = H k (0)/ | H k (0) | w k H k (0) H k (0) w k H k (0) w k ( "+ H k (0) e U k ) w k = O ( & 2 k )(1+ | y | ) # 2 y # # k # (0 1) C > 0 | w k ( y ) | C & 2 k (1+ | y | ) y # # k w k H k (0) H k H k (0)= O ( & 2 k ( & # 1 k )) w k w k ( y )= O ( & 2 k (1+ | y | ) # 2 ) | w k ( y ) | = O ( & 3 k ( & # 1 k )) | y | = & # 1 k /2

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p k v k p k =2 & k % V k (0) V 2 k (0) + O ( & 2 k ) H k p k = O ( & k ) + k (0)= % V k (0) V k (0) + O ( & 2 k ( & # 1 k )) = B 1 w k u k w k H k ( & k y ) y =0 w k / + H k (0) e U k 0 w k = % $ 2 k 2 r 2 e U k H k (0) 2 +2 12 H k (0) y 1 y 2 r 2 + 1 2 i =1 ii H k (0) y 2 i r 2 % 1 2 ++ + O ( & 3 k ( & # 1 k ))(1+ r ) # 3 + O ( & 3 k )(1+ r ) # 1 + O ( & 2 k )(1+ r ) # 4 r = | y | w k w k # k w k = % 8 & 2 k H k (0) H 2 k (0) ( & k ) 2 + O ( & 2 k ( & # 1 k )) p k = O ( & k ) 2 # G k (0 )= % | | + & # 1 k + O ( & 2 k ) # k w k = O ( & 2 k ) 0= w k (0)= % # k G (0 ) w k ( ) d + w k + O ( & 2 k )

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w k w k w k ( y )= % 8 & 2 k H k (0) H 2 k (0) ( (2+ | y | )) 2 + O ( & 2 k (2+ | y | )) y # # k y # # k \ B 1 f k ( y )= 8 & 2 k H 2 k (0) 2 2 12 H k (0) y 1 y 2 r 2 + 2 ( i =1 ii H k (0) y 2 i r 2 % H k (0)( r ) 2 3 w k % f k $ % % % % & % % % % ( w k % f k )= O ( & 3 k ( & # 1 k )) r # 3 + O ( & 3 k ) r # 1 + O ( & 2 k ) r # 4 y # # k \ B 3 w k % f k = O ( & 2 k ) y # B 3 w k % f k = O ( & 2 k ( & # 1 k )) y # # k g k = c 1 & 3 k r % c 2 & 2 k ( r % 1) k c 1 c 2 w k ( y )= % 8 & 2 k H k (0) H 2 k (0) ( r ) 2 + O ( & 2 k ( (2+ r ))) y # # k \ B 3 u k w k u k = B 1 V k

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u k ( x )= e u k (0) 1+ V k (0) 8 e u k (0) | x # q k | 2 2 + + k ( x ) % 8 & 2 k ( V k )(0) V k (0) / / 2+ & # 1 k | x | 00 2 + O ( & 2 k ) / 2+ & # 1 k | x | 0 q k = & k p k u k % + k H k + k (0)= %! V k (0)/ V k (0)+ O ( & 2 k ( & # 1 k )) p k = O ( & k ) p k = O ( & k ) H k (0) H 2 k (0) = ( V k )(0) V k (0) + O ( & 2 k ( & # 1 k )) x = & k ( y + p k ) q k = & k p k p k = O ( & k ) w k u k $ R 2 B 1 $ G % ( G O (1) u k u k ( x )= u k (0) % 2 1+ V k (0) 8 e u k (0) | x | 2 # + O (1) x # u k ( x ) % u k ( y )= O (1) x y # \ B 3/4

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u k ( x )= u k (0) % 2 1+ V k (0) 8 e u k (0) | x | 2 # + O (1) x # B 1 0 ! x 0 ) ) ) ) u k ( x ) % 1 | ! | ! u k dS ) ) ) ) = O (1) u k &%' \{ 0 } u k &%' \ B 1/2 x y # \ B 3/4 ! u k = O (1) u k ( x ) % u k ( y )= ( G ( x ) % G ( y )) V k ( ) e u k ( ) d + O (1) V k e u k $ 8 #& 0 u k &%' \ B 1/2 u k ( x )= % u k (0)+ O (1) x # \ B 1/2 O (1) k + k + k ( x )= k ( x )+ O ( & 2 k ( & # 1 k )) x # B 1 x # h k ( x )=8 #( ( x 0) % ! G !) ( x ) u k ( ) dS

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' k ( x )= h k ( x ) % h k (0) u k ( )= % u k (0)+ O (1) | | ( 1 2 u k u k ( x )= B 1/2 / % 1 2 # | x % | + ( ( x ) 0 V k ( ) e u k ( ) d % ! G !) ( x ) dS + O ( & 2 k ) ( B 1/2 ( ( ( x ) % ( ( x 0)) V k ( ) e u k ( ) d = O ( & 2 k ) B 1/2 V k ( ) e u k ( ) d =8 # + O ( & 2 k ( & # 1 k )) u k ( x )= h k ( x ) % 1 2 # B 1/2 ( | x % | ) V k ( ) e u k ( ) d + O ( & 2 k ( & # 1 k )) x =0 h k (0)= % u k (0) % 2 V k (0) 8 % 8 ( V k )(0) V k (0) & 2 k ( & k ) 2 + O ( & 2 k ( & # 1 k )) | x % | u k ( x )= % 4 | x | + h k ( x )+ O ( & 2 k ( & # 1 k )) x # \ B 3/4 q k = O ( & 2 k ) | x | ( 1/2 e u k (0) 1+ V k (0) 8 e u k (0) | x % q k | 2 + 2 = % 4 | x | % u k (0) % 2 V k (0) 8 + O ( & 2 k )

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1 2 | x | 1 u k ( x )= % 4 | x | + + k ( x ) % u k (0) % 2 V k (0) 8 % 8 ( V k )(0) V k (0) & 2 k ( & k ) 2 + O ( & 2 k ( & # 1 k )) k ( x )= h k ( x ) % h k (0)= + k ( x )+ O ( & 2 k ( & # 1 k )) 3 4 | x | 1 k % + k B 1 k % + k = O ( & 2 k ( & # 1 k )) x # B 1 x # B 1 x # H k

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24 24 ( M n g ) ( n ( 3) M g = u 4/( n # 2) g g R g h g g K ( x ) c ( x ) g

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$ % & % K = % 4( n # 1) n # 2 u # n +2 n 2 g u % n # 2 4( n # 1) R g u + c = 2 n # 2 u # n n 2 / ) g u + n # 2 2 h g u 0 g % g ( 0 ) g M K c $ % & % u + K ( x ) u n +2 n 2 =0 B + 1 $ R n + u > 0 u x n = c ( x ) u n n 2 B + 1 R n + ( B + 1/3 u ) ( B + 2/3 u ) C C > 0

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, B + 1/2 | u | 2 + u 2 n n 2 + dx C K c n =3 K > 0 c K c n ( 4 K c n =3 K c n ( 4 K c n ( 4 K K # C n # 2 ( B + 1 ) C 0 x # B + 1 ) ) j K ( x ) ) ) C 0 | K ( x ) | n 2 j n 3 j =1 n % 2 $ > 0 1 $ K ( x ) x # B + 1 +! K ( x ) + C n 2 ( B + 1 ) $ K x 1 x n # 1

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K K ( x )=1+ 2 n # 1 ( j =1 x 2 j 3 + % ( n % 2 2 u + K ( x ) u ( n +2)/( n # 2) =0 B 1 B + 1 B 1 K c C ( n $ C 0 ) > 0 ( n $ C 0 ) > 0 u c < K K K B + 1 K c C ( n $ C 0 ) u u ( x ) /& R ( n # 2)/2 u ( Rx ) B R

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! B + 1 R n + B + 1 R n + K K B + 1 R n + B + 1 R n + K K ( n + 2)/( n % 2) n $ (1) i &' C C 1 C 2 n $ v i R U R i #

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i # N u i K K i c c i 4 5 B + 1/3 u i 6 7 4 5 B + 2/3 u i 6 7 > i $ C 0 K i x i # B + 1/2 R n + / i & 0 u i ( x i ) ( B + 1/3 u i u i ( x i ) ( u i ( x ) 0 x # B ( x i / i ) R n + u i ( x i ) 2 n 2 / i &' x i u i ( x i ) B + 2/3 u i > i u i ( x i ) &' u i x i u i u i x i k &' K i ( x i )= n ( n % 2) M i = u i ( x i ) % i = M 2 n 2 i T i = x in % i E i = B ( % % i x i 2 % i ) { y n > % T i }

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v i ( y )= 1 M i u i ( x i + % # 1 i y ) y # E i C 2 T i &' v i & U C 2 ( R n ) U ( y )= / 1+ | y | 2 0 # n 2 2 { T i } T i v i C 2 R n { y n (% i T i } U $ % % % % & % % % % U + n ( n % 2) U n =0 y # R n { y n > % i T i } U y n = i c i U n /( n # 2) y # { y n = % i T i } U (0)=1= y R n ( { y n )# i T i } U ( y ) B + 1 R n + B + 1 R n + B + 1 R n + u i B + 1 R n + c

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{ u i } | c ( x ) | C x # B + 1 R n + C > 0 C 1 > 0 i x i u i x in u i ( x i ) 2 n 2 C 1 x in n x i K i ( x i ) K i ( x i ) M i % i T i v i ( y )= 1 M i u i ( x i + % # 1 i y ) y # B (0 1 8 % i ) { y n (% T i } v i v i y # B (0 % i /8) { y n (% T i } v i ( y )=% 2 # n i M i u i ( x i + % # 1 i y ) ( C ( n ) i | y | 2 # n i & 0 v i ( y ) ( 1 i | y | 2 # n y # B (0 , i % i ) { y n (% T i }

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! i = B (0 , i % i ) { y n > % T i } ! i = ! i { y n = % T i } !! i = ! i \ ! i v i $ % & % v i + H i ( y ) v n i =0 y # i v i y n = c i ( x i + % # 1 i y ) v n /( n # 2) i y # ! i H i ( y )= K i ( x i + % # 1 i y ) T i T i &' K i ( x i ) K i ( x i ) K i ( x i ) | K i ( x i ) | = & i K i ( x i ) & i & 0 & > 0 i & i ( & > 0 K e n =(0 0 1) i &' K i ( x i )/ & i e e n e = e 1 =(1 0 0) K i ( x i ) & i & e =(1 0 0) i &' R 2 1

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v R i ( y )= v i ( y % Re ) U R ( y )= U ( y % Re ) v R i ( y )= | y | # n # 2 v R i ( y ) U R ( y )= | y | # n # 2 U R ( y ) > 0 y = 2 y / | y | 2 v R i U R # = # i , = i \ B ! # = # { y n = % T i } $ = 1 1+ R 2 $ % & % ( U R % U R )( y ) > 0 y # R n \ B <" $ ( U R % U R )( y ) < 0 y # R n \ B >" $ 0 = R 1 = R +2 $ # [ 0 1 ] w ( y )= v R i ( y ) % v R i ( y ) y # # i w $ % % % % & % % % % L i w ( y )= Q 1 ( y ) y # # B i w ( y )= Q 2 ( y ) y # ! # w ( y )=0 y # # B , L i = "+ H i ( y % Re ) 0 1 ( y ) B i = ! y n % c i ( x i + % # 1 i ( y % Re )) 0 2 ( y )

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0 1 ( y )= n $ 1 0 / tv R i ( y )+(1 % t ) v R i ( y ) 0 4 n 2 dt 0 2 ( y )= n n % 2 1 0 / tv R i ( y )+(1 % t ) v R i ( y ) 0 2 n 2 dt Q 1 ( y )=( H i ( y % Re ) % H i ( y % Re ))( v R i ( y )) n Q 2 ( y )= / c i ( x i + % # 1 i ( y % Re )) % c i ( x i + % # 1 i ( y % Re )) 0/ v R i ( y ) 0 n /( n # 2) % n # 2 | y | n +2 T i / ( n % 2) | y | 2 v R i ( y )+2 2 8 v R i ( y ) y 90 Q 1 Q 2 w { h } [ 0 , 1 ] h ( y )= (1) | y | 2 # n y # # $ % & % L i ( w + h )( y ) 0 y # # B i ( w + h )( y ) 0 y # ! # O , O = { y # # :( v R i % v R i )( y ) v R i ( y ) } w Q 1 Q 2 0 1 0 2

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u 1 u m x # R N + ( x ) < w i x , ( x ) ( y ) ) 0 y # R N + \{ x } i # J x =0 A x 0 # R N + # (0 ( x 0 )] i 0 # J w i 0 x 0 , ) 0 # x 0 , w i x 0 , ) 0 R N + \{ x 0 } i # J y # # x 0 , x =0 x 0 # R N + 0 < w i , % w i , = m ( j =1 + ij ( u a ij j % u a ij j , ) # i # J + ij = 2 j # 1 > k =1 u a ik k , 32 m > / = j +1 u a i $ / 3 > 0 ? 0 k =1 u a ik k , =1 ? m / = m +1 u a i $ / =1 A w j , ( 0 # j # J x 0 # R N + ( x 0 ) < w i x 0 , ( x 0 ) ) 0 R N + \{ x 0 } i # J x 0 =0 i # J w i , ) 0 R N + \{ 0 } # i # J

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i # J # w i , w i , ( y ) > 0 y # # i # J w i , ( y ) > 0 y # # \ B i # J y # # \ B i 0 # J w i 0 , ( y )=0 w i 0 , B $ # B # = { y } w i 0 , y N ( y ) > 0 c i 0 < 0 w i 0 , y N ( y )= c i 0 2 m > j =1 u j ( y ) b i 0 j % m > j =1 u j , ( y ) b i 0 j 3 0 c i 0 ( 0 w i 0 , y N ( y )= c i 0 / u i 0 ( y ) N /( N # 2) % u i 0 , ( y ) N /( N # 2) 0 =0 y # B # ) = ) ( y ) B # , > 0 w i , !) ( y ) ( y # # B i # J w i !) ( y ) y # # \ R N + i # J # B

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! w i , !) ( y ) > 0 y # B R N + i # J = { y # # : ( y B R N + ) < 2 } + ( y )= & e + y N ( | y | 2 % 2 ) & > 0 % > 0 $ % % % % % % % % % % & % % % % % % % % % % + > 0 R N + + ) 0 B !% y N = %+ R N + !% !) =2 & e + y N B i c i < 0 % > 0 ! y N ( w i , % + ) *% %+ % 2 ( w i , % + ) ! R N + i c i ( 0 i ( y ) # [ u i , ( y ) u i ( y )]

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! y N ( w i , % + )= c i u N /( N # 2) i % u N /( N # 2) i , + % %+ = N N % 2 c i 2/( N # 2) i w i , % %+ N N % 2 j | c j | #! j u j # 2/( N # 2) w i , % %+ % = % ( N j | c j | j u j ) ! y N ( w i , % + ) % 2 ( w i , % + ) ! R N + C 1 > 0 ! y N ( w i , % + ) C 1 ( w i , % + ) ! R N + i # J C 1 & w i , % + $ % % % % % % & % % % % % % % ( w i , % + ) > 0 w i , % + ) 0 ! B w i , % + > 0 ! \ # i # J i 0 # J w i 0 , % + w i 0 , % + y # ! y # R N + { y : < | y | 3 /2 } y w i 0 , % + 0 ! y N ( w i 0 , % + )( y ) C 1 ( w i 0 , % + )( y ) < 0 w i , ( + i # J w i !) ( !% !) B R N + i # J

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" /& w i , R 0 > w i , r ( y ) ( 2 y # B + R 0 \ B , # [ R 0 ] i # J w i , ( y ) > 0 B + R 0 \ B # [ R 0 ] i # J i c i < 0 | y | &' | y | N # 2 w i , ( y ) > 0 c i ( 0 i # J i c i < 0 h i ( y )= 2 B R 0 ( R N + w i , 3 R N # 2 0 | y | 2 # N | y | ( R 0 c i w i , % h i $ % % % % % % & % % % % % % % ( w i , % h i ) ( 0 R N + \ B R 0 w i , % h i ( 0 B R 0 R N + ! y N ( w i , % h i )= c i ? m j =1 u a ij j % ? m j =1 u a ij j , + < 0 R N + \ B R 0 | y | &' ( w i , % h i )( y ) ( 0 w i , % h i R N + \ B R 0 w i , % h i R N + \ B R 0 y # R N + \ B R 0 y # ( R N + \ B R 0 ) y # R N + \ B R 0 y w i , % h i

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0 ! y N ( w i , % h i )( y ) < 0 w i , ( h i R N + \ B R 0 i c i ( 0 | y | &' | y | N # 2 w i , ( y ) > 0 i c i ( 0 O i = { y # # : w i , ( y ) < u i , ( y ) } | y | &' ; y O i | y | N # 2 w i , ( y ) > 0 u i ( y ) 2 N # 2 2 j B + u j 3 | y | 2 # N y # O i i ( y ) # [ u i , ( y ) u i ( y )] y # # R N + u i ( y ) N /( N # 2) % u i , ( y ) N /( N # 2) = N N % 2 i ( y ) 2/( N # 2) w i , ( y ) N N % 2 u i ( y ) 2/( N # 2) w i , ( y ) w i , c i ( 0 C 1 = C 1 ( N j | c j | j B + u j ) > 0

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! ! y N % C 1 | y | # 2 # w i , 0 y # O i R N + A 2 1 0 ( y ) 0 A C 1 ! y N % C 1 | y | # 2 # 0 ( y ) > 0 R N + \ B 2 A A > 0 ( w i , % ,0 )( y ) > 0 ( B 2 A R N + ) 3 ( O i R N + ) $ % % % % % % & % % % % % % % ( w i , % ,0 ) > 0 O i \ B 2 A ( w i , % ,0 ) > 0 ( O i \ B 2 A ) \ R N + ! y N % C 1 | y | # 2 + ( w i , % ,0 ) < 0 ( O i \ B 2 A ) R N + | y | &' ( w i , % ,0 )( y ) ( 0 R 0 c 0 > 0 w i , ( y ) ( c 0 | y | 2 # N y # R N + \ B R 0 i # J > 0 i # J w i , ( y ) ( c 0 | y | 2 # N + 2 N # 2 u i 2 2 y | y | 2 3 % N # 2 u i 2 y | y | 2 # 3 | y | 2 # N y # R N + \ B R 0

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u i B + R 0 0 # (0 R 0 % ) ) ) ) ) ) N # 2 u i 2 2 y | y | 2 3 % N # 2 u i 2 y | y | 2 # ) ) ) ) ) < c 0 2 y # R N + \ B R 0 # [ " + 0 ] i # J w i , ( y ) > c 0 2 | y | 2 # N y # R N + \ B R 0 # [ " + 0 ] i # J w i , ( y ) ( 0 R N + \ B # [ " + 0 ] i # J x 0 # R N + ( x 0 )= ( x )= x # R N + x 0 # R N + ( x 0 )= ( x 0 ) > 0 u i ( y ) ( | y % x 0 | # N # 2 u i x 0 + 2 ( y % x 0 ) | y % x 0 | 2 # # x 0 , i # J | y | N # 2 u i ( y ) &' | y | &' i # J x # R N + ( x ) < u i = u i x ( x ) R N + \{ x } i # J | y | N # 2 | y | &' | y | N # 2 u i ( y ) & ( x ) N # 2 u i ( x ) < i # J x # R N + ( x ) <

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u i ( t ) % u i (0)= % t 0 m > j =1 u j ( s ) a ij ds t &' u i (0) % 1 i = 0 m > j =1 u j ( s ) a ij ds ? m j =1 u a ij j # L 1 (0 ) i 0 # J t &' u i 0 ( t )=0 x # R N + ( x ) < u i ( y )= ( x ) | y % x | # N # 2 u i x + ( x ) 2 ( y % x ) | y % x | 2 # R N + \{ x } i # J R N # 1 = R N + y = y + y N e N y # R N + R N # 1 i # J A i ( 0 d i > 0 x i # R N + u i ( y )= A i / d 2 i + | y % x i | 2 0 ( N # 2)/2 y # R N + A i = | y $ | &' | y | N # 2 u i ( y )= ( x ) N # 2 u i ( x ) > 0 x # R N + d i = d j x i = x j ( i j ) # J 4 J

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u i ( x ) A i = u j ( x ) A j x # R N + ( i j ) # J 4 J d 2 i + | x % x i | 2 = d 2 j + | x % x j | 2 x # R N + ( i j ) # J 4 J d d i x x i u i ( x )= A i / d 2 + | x % x | 2 0 ( N # 2)/2 x # R N + i # J u i R N + u i A i ( x ) 2 = d 2 + | x % x | 2 x # R N + Q = x + de N P = x % de N x # R N + B ( x ( x )) P Q y # R N Ty = P + 4 d 2 ( y % P ) | y % P | 2 y B ( P 2 d ) T T = T # 1 R N 3{ } T ( R N + )= B ( Q 2 d )

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x # R N + B ( x ( x )) T H ( x ) Q x % P z z H ( x ) Tz T z B ( x ( x )) T z = x + ( x ) 2 ( Tz % x ) | Tz % x | 2 T R N + y N x P Q x B ( x ( x )) T R N + y N x P Q x H ( x )= T / B ( x ( x )) 0 T z # B ( Q 2 d ) i # J v i ( z )= 2 d | z % P | # N # 2 u i ( Tz ) x # R N + u i B ( x ( x )) v i H ( x ) B ( Q 2 d ) x # R N + z z # B ( Q 2 d ) H ( x ) v i ( z )= 2 d | z % P | # N # 2 ( x ) | Tz % x | # N # 2 u i ( T z )= v i ( z )

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x # R N + v i Q B ( Q 2 d ) v i P y = Tz z # B ( Q 2 d ) x = x v i ( z )= | y % P | 2 d # N # 2 u i ( y ) = | y % P | 2 d # N # 2 ( x ) | y % x | # N # 2 u i x + ( x ) 2 ( y % x ) | y % x | 2 # z & P B ( Q 2 d ) \{ P } y &' R N + ( x )= d z & P ; z B ( Q 2 d ) \{ P } v i ( z )= 1 2 # N # 2 u i ( x ) > 0 v i P v i $ % % % % % % & % % % % % % v i + ? m j =1 v a ij j =0 B ( Q 2 d ) v i !) ( z )+ N # 2 4 d v i ( z )= % c i ? m j =1 v j ( z ) b ij B ( Q 2 d ) v i ( z ) > 0 B ( Q 2 d ) i # J ) B ( Q 2 d ) v i B ( Q 2 d ) i # J v i Q v i Q B ( Q 2 d ) r = | z % Q | v i ( z )= i ( r ) i :[0 2 d ) & (0 )

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$ % % % % % % & % % % % % % ' !! i ( r )+ N # 1 r i ( r )+ ? m j =1 j ( r ) a ij =0 0 < r < 2 d i (2 d )+ N # 2 4 d i (2 d )= % c i ? m j =1 j (2 d ) b ij i (2 d )=2 2 # N u i ( x ) i # J % 1 % m % i = m ( j =1 a ij % j % / 2 N ( N % 2) 0 i # J i ( r )= % i ( 2 + r 2 ) ( N # 2)/2 i # J z = Ty u i ( y )= | Ty % P | 2 d # N # 2 % i / 2 + | Ty % Q | 2 0 ( N # 2)/2 = ( i / / 2 + | y % y 0 | 2 0 ( N # 2)/2 y # R N + i # J ( i = 4 d 2 2 +4 d 2 # ( N # 2)/2 % i / 2 = 2 4 d 2 2 +4 d 2 # 2 y 0 = x % d 2 % 4 d 2 2 +4 d 2 e N / 2 ( i / 2 ( 1 ( m

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G k % # k | y | ( 3 G k | G k ( y ) % G k (0 ) | $ % % % % & % % % % C ( | y | + | | || ) y # # (1) k C ( | y | + | | y % || ) y # # (2) k C | y | / | | y # # (3) k # (1) k = { # # k : | | < | y | /2 } # (2) k = { # # k : | y % | < | y | /2 } # (3) k = # k \ ( # (1) k 3 # (2) k ) G k p k = (1) u k = B 1 v k u k C 1 > 0 0 < 2< 1 y B r v k ( y ) 2 y B r v k ( y )+2( 2 % 1) r + C 1 2 r & # 1 k 4 C 1 2 k u k x =0 x =0 u k k

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C > 0 u k ( x )+2 | x | C x # B 1 \{ 0 } w k > 0 C > 0 k w k ( y ) C + (1+ | y | ) y # # k > 0 y # B 3 w k & 0 C 2 ( B 3 ) U k ( y )= % 4 | y | + O (1) | y | ( 1 C > 0 v k ( y ) C +( % 4) | y | y # # k \ B 3 # k \ B (0 & # 1 k /8) v k ( r )= 1 2 # r B r v k ( y ) dS y 0 < r & # 1 k % | p k | v k V k e u k $ 8 #& 0 r ( 1 k d dr v k ( r )= 1 2 # r B r v k !) ( y ) dS y *% 1 2 # r B 1 H k ( & k y ) e v k dy ( % 4) r v k ( r ) C +( % 4) r 1 r & # 1 k % | p k | x y # # k \ B (0 & # 1 k /8) v k ( x ) % v k ( y )= O (1) u k ( u k % + k )( & k ( x + p k )) % ( u k %

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+ k )( & k ( y + p k )) V k e u k $ 8 #& 0 # k \ B (0 & # 1 k /8) y # B (0 & # 1 k /4) \ B 2 B r v k = O (1) 2 r & # 1 k /4 r | x | = | y | = r C > 0 v k ( y ) C % (2+ 2 ) | y | 2 | y | & # 1 k /4 2 > 0 v k ( x ) % v k ( y ) B (0 & # 1 k /2) B r v k = O (1)

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A = { # # : | y % | ( | y | % )/3 } B = { # # : | y % | ( ( | y | % )/3 | | 8 } D = { # # : | | ( 8 } C 1 C 2 n < | y | 4 G ( y ) ( C 1 ( | y | % )( | | % ) n # G ( y ) $ % % % % & % % % % C | y % | 2 # n # A C ( | y | # )( | | 2 # 2 ) | y # | n C ( | y | # )( | | # ) | y # | n # B C ( | y | # )( | | 2 # 2 ) | y # | n C | y | # , | | 2 # n # D | y | ( 4 G ( y ) ( C ( | | % )( | y | 2 % 2 ) | y % | n ( C | | % " | y | 2 # n # G ( y ) C | y % | 2 # n # # \ 0 / n G ( y )= 1 2 2 ( | y | 2 % 2 )( | | 2 % 2 ) 1 0 1 t ( y ) # n 2 dt

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R > 0 v $ % % % % % % & % % % % % % % v ( 0 B + R v y N < 0 ( B + R R N + ) \{ 0 } v > 0 B + R \{ 0 } v ( y ) ( B R ( R N + v y # B + R \{ 0 } m R = B R ( R N + v 0 < ,< R + ( y )= m R 2 # N % | y | 2 # N 2 # N % R 2 # N | y | R v % + $ % % % % % % & % % % % % % % ( v % + ) ( 0 B + R \ B ! y N ( v % + ) < 0 ( B + R \ B ) R N + v % + ( 0 ( B R 3 B ) R N + v % + B + R \ B x 0 # R N + { < | y | < R } B + R \ B ( v % + )=( v % + )( x 0 ) < 0 x 0 # R N + v % + ! y N ( v % + )( x 0 ) ( 0 v ( + B + R \ B y # B + R \{ 0 } 0 < ,< | y | /2 v ( y ) ( m R 2 # N % | y | 2 # N 2 # N % R 2 # N & 0

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f # C 1 ( R N + ) N ( 2 b > 0 f f ( y ) ( | y % x | # b f x + 2 ( y % x ) | y % x | 2 # y # R N + x # R N + > 0 f ( y )= f ( y N e N ) y # R N + e N =(0 0 1) f # C 1 ( R N ) N ( 1 b > 0 x # R N ( x ) > 0 ( x ) | y % x | # b f x + ( x ) 2 ( y % x ) | y % x | 2 # = f ( y ) y # R N \{ x } a ( 0 d > 0 x # R N f ( x )= a d + | x % x | 2 # b /2

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R n R n + % u = V ( x ) e u

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% u = e 2 u

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n % u = Ve u

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