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 Table of Contents
 Teoria de las superficies...
 Funciones mas empleadas en el proceso...
 Analisis agroeconomico de una fertilizacion...
 Analisis economico del experimento...
 Bibliography
 Apendice 1. Sistematizacion de...
 Apendice 2. Configuracion del modelo...
 Apendice 3. Tablas de F y de t
 Indice de materias
 Indice de tablas
 Indice de graficos
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Title: Manual de economia de la produccion
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Permanent Link: http://ufdc.ufl.edu/UF00080836/00001
 Material Information
Title: Manual de economia de la produccion
Physical Description: Book
Language: Spanish
Creator: Ramirez L., Fabian.
Ochoa T., Hernando
Universidad Nacional de Colombia, sede de Medellin, Facultad de Ciencias Humanas, Departmento de Economia
Affiliation: National University of Colombia -- Medellin -- Econonmy
Publisher: Centro de Publicaciones, U. N.
Publication Date: 1977
 Subjects
Spatial Coverage: South America -- Colombia
 Record Information
Bibliographic ID: UF00080836
Volume ID: VID00001
Source Institution: University of Florida
Rights Management: All rights reserved by the source institution and holding location.
Resource Identifier: oclc - 182981720

Table of Contents
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    Title Page
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    Table of Contents
        Table of Contents 1
        Table of Contents 2
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        Table of Contents 4
    Teoria de las superficies de respuesta
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    Funciones mas empleadas en el proceso de respuesta
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    Analisis agroeconomico de una fertilizacion en cana de azucar para panela
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    Analisis economico del experimento basado en el modelo seleccionado
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    Bibliography
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    Apendice 1. Sistematizacion de los datos y pruebas estadisticas para la seleccion de un modelo en analisis de superficies de respuesta
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    Apendice 2. Configuracion del modelo seleccionado
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    Apendice 3. Tablas de F y de t
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    Indice de materias
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    Indice de tablas
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    Indice de graficos
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/ L


UNIVERSIDAD NATIONAL DE COLOMBIA
SEDE DE MEDELLIN


FACULTAD DE CIENCIAS HUMANS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIC


MANUAL DE ECONOMIC

DE LA PRODUCTION




Por:
Fabian Ramirez L. y Hernando Ochoa T.




Centro de Publicaciones U. N.
1.977











UNIVERSIDAD NATIONAL DE COLOMBIA

SEDE DE MVEDELLIN


FACULTAD DE CIENCIAS HUMANS

DEPARTAMENTO DE ECONOMIC








MANUAL DE ECONOMIC

DE LA PRODUCTION








POR:

Fabian Ramfrez L. y Hernando Ochoa T.










Centro de Publicaciones U. N.


1.977









CONTENIDO:



CAPITULO I. Pag.


IN TRODUCCION........................................ 1


FUNCIONES DE RESPUESTA.............................

Factores variables fijos y sin importancia ............. 2

Relaciones mas importantes en superficies de respuesta

en 1, 2 y n factors variables........................ 2

Tasa marginal de sustituci6n (T.M.S.).................. 5

Isoclinas.................... ................ ......... 5

Rendimientos creciente.s, decrecientes y decrecientes a

escala.............................................. .. 6


EFICIENCIA DE LA RESPUESTA ............ ....... 7

Prop6sito del analisis de respuesta .................... 7

Condiciones 6ptimas de operaci6n...................... 8

Ganancias de product y perdidas de insumos.......... 8

Un factor variable, dos factors variables y n factors

variables. ........................................... 8











CAPITULO II.





FUNCIONES MAS EMPLEADAS EN EL PROCESS DE RES-


PUESTA ................................................


M itscherlich .........................................


Spillm an........... ................................. .


Cobb-Douglas. ...... .... .....


Cuadratica. ............... ... ...


Raiz cuadrada .....................


Cubicas.............................



SELECTION DE FUNCIONES ..........


Criterios de Seleccin .de funciones..



L6gica a priori..................


Observacion grafica .............


Bandas de ajuste y otros criterios. estadfsticos ......


L6gica a posteriori................................


Descripcion del experimento.......................


Sitio...........................................


Experimento realizado ..........................


..


..... ....



.... .
.........e


...............
. . . . .





. .. .... .. .. .. ..
...............



eeee',e eeeeeee









CAPITULO III.
Pag.


ANALYSIS AGROECONOMICO DE UNA FERTILIZACIONEN

CANA DE AZUCAR PARA PANELA...................... 24


Analisis de los datos y Seleccion de funciones ......... 24

Analisis de los resultados.......................... 24

Analisis Grafico ................................... 26

Selecci6n de la funcion............................. 31

Pruebas estadisticas......................... ..... 33

Coeficiente de determinacin ...................... 33

Significancia de los coeficientes.en las funciones 35

Analisis de variancia............................ 35



CAPITULO IV.



ANALYSIS ECONOMIC DEL EXPERIMENT BASADO EN

EL MODELO SELECCIONADO............................ 37

Estimacion de rendimientos....................... ... 37

Dosis 6ptimas que deben aplicarse de losnutrimentos... 37

Variaci6n de las dosis 6ptimas al variar los precious de

los insumos y del producto........................... 40










Pag.


Isocuantas....... .................. .. ......* ****

Lineas limits y camino de expansi6n.................



BIBLIOGRAFIA.........................................



APENDICE 1.................................... .........

Sistematizaci6n de los datos y pruebas estadisticas para

la seleccion de un modelo en analisis de superficies de

respuesta............................................



APENDICE 2............................................

Tablas de F y de t...................................



INDICE DE MATERIAS.............................. ...



INDICE DE TABLAS....................................


INDICE DE GRAFICOS. ................................









CAPITULO I


TEORIA DE LAS SUPERFICIES DE RESPUESTA


INTRODUCTION


La metodologfa de superficies de respuesta se debe emplear una vez que
a traves de investigaciones sobre la production ffsica debido a la aplicn-
ci6n de insumos se ha llegado a las dosis apropiadas, ya que de otra for-
ma se estarfan evaluando econ6micamente dosis que a traves de la expe -
rimentaci6n fisica podrian ser eliminadas. Se debe tener en cuenta, que
para la mayorfa de los products ya se conocen las dosis mas recomen
dables desde el punto de vista de la producci6n ffsica, pero en el caso
de products con los cuales se este iniciando la experimentacion, el ani-
lisis economic debe esperar hasta tanto se hayan conseguido los rangos
de aplicaci6n de insumos con los cuales se consigan los mayores rendi -
mientos fisicos. Esta observaci6n tambien es valida para nuevas varieda
des e hfbridos que se vayan a recomendar para una region o tipos espe-
cificos de suelos.

FUNCIONES DE RESPUESTA

Se define funcion de respuesta (o funcion de producci6n) como la canti-
dad de production de cultivos o pecuarios obtenida en respuesta a la apli
cacion de los insumos involucrados en el process de producci6n, y se de-
signa como,

(1-1) Y = f(X1, X2, ............... Xn)


En la cual Y es la producci6n y X1, X2 ............ Xn los insumos
empleados en su process (como por ejemplo nutrimentos aprovechables
del suelo, clima, plagas, enfermedades entire otros que influyen sobre
el rendimiento de determinado product como trigo u otro cultivo cual-
quiera ).

En general, es impossible enumerar todos los factors en la producci6n
de un cultivo determinado o product pecuario. Por tanto, es necesa-
rio simplificar. Esto puede realizarse mediante la teoria de respuesta
la cual incluye los factors mas relevantes.






- 2 -


Factores Variables, Fijos y sin Importancia.

La funcion de respuesta (1-1) revela que los n factors son variables.

Por lo general, interesara la situaci6n en que solo se considered m fac-
tores variables. Los (n-m) factors restantes incluirin factors fijos o
de tan poca importancia que pueden considerarse como tales.

Relaciones mas importantes en superficies de respuesta con 1,2 y n fac-
tores variables.

La function de respuesta mas simple es aquella que consider un factor
variable y puede representarse como:

(1-2) Y = f(X1)

Dada la relacion (1-2) existe la posibilidad de derivar cuatro relaciones
importantes desde el punto de vista de superficies de respuesta:

El product medio, definido como la cantidad media de product por uni-
dad de insumo variable empleado (Y/X1) = PPx1.

El product marginal: expresa la tasa de cambio en producci6n a cual -
quier nivel dado de X1, cuando se incrementa X1 en una cantidad infini -
tesimal.

Se denota por PMgx1 = Y
3X1

Produccion maxima: que es aquella cuando el PMgx1 es igual a cero.

La elasticidad de producci6n, que se define como el cambio relative en
Y dividido por el cambio relative en X1. Algebraicamente puede denotar-
se como sigue:
AY
E = Y
1 ~ AXi

xi
X1

Esto es la elasticidad arco, la elasticidad punto sobre la curva de res-
puesta puede escribirse como:

Y X1 PMgx1
3X1 Y P Px1









-3-


Tambien puede interpretarse la elasticidad de producci6n como el cam-
bio porcentual en Y resultante del incremento de uno por ciento en X1.

Las tres primeras relaciones (PPxl, PMgx1 y PMax) son cantidades
ffsicas, en cambio EJ es un nimero puro.

Considerando dos factors variables la funci6n puede expresarse en la
siguiente. forma :

(1-3) Y = f(Xi X2)

Esta funcion no puede ser repr(sentada por una sola curva, sino por
medio de una superficie en el espacio tridimensional con ejes X1, X2,
Y.

Existen dos posibilidades de representarla: a) como una superficie de
produccion en tres dimensions (vease el grafico 1); b) describirla a
base de isocuantas que no son mas que curvas en dos dimensions, re-
sultantes al hacer un corte transversal a la superficie de producci6n
(vease grafico 2).

Grafico I : Superficie de Respuesta para dos factors Variables.








La superficie de respuesta ABCD es solo la superficie de la colina de
production originada por los aumentos de X1 y X2. Cambios en las es-
pecificaciones de la funci6n de respuesta produciran tambien cambios en
la forma y ubicaci6n de la superficie.

Gr~fico 2 : Mapa de isocuantas para dos factors variables


Y4


Estos contornos Y1, Y2, Y3, Y4, o isocuantas se definen como el lugar
geom6trico de todas las combinaciones X1 y X2 con las cuales se obtie-
ne un mismo riivel de producci6n.

Si se conoce la forma algebraica Y = f(X1,X2), y se determine la mis-
ma cantidad de product (Y*) que se desea conseguir con las diferentes
combinaciones de X1 y X2 se puede obtener la formula general de una
isocuanta :


(1-4)


XI = f(X2/Y')


donde X1 depend solamente de los valores de X2.

Cuando Y* varia, se obtiene una familiar de isocuantas, cuya expresi6n
general es :


1-5)


X1 = f (X2, Y*)


A partir de las isocuantas se pueden obtener algunas relaciones entire los
factors XI y X2. Estas relaciones que son definitivas para el analisis e-
conomico son las siguientes:









5 -


Tasa Marginal de Substituci6n (T.M.S.)

La tasa marginal de substituci6n de X1 por X2 indica la cantidad de X2
que hay que reemplazar por X1 para que la producci6n permanezca cons-
tante. Al variar X1 se obtendra una variaci6n en la production (recuer-
dese que esto no es mas que producci6n marginal), lo mismo sucede al
variar X2.

(AX1) (PMg ) = (AX2) ( PMgx2)


TMS12 =


AX1
AX2


PMg X2
PMg x1


cuyo lfmite cuando X 0 es:


el inverso sera :


a xl
.' X2


aX2-
ax1


P Mgx2
P Mgx1


PMgx1
PMgx2


El valor de la'TMS puede fluctuar entire mas infinite y menos infinite.

Isoclinas:

Las isoclinas se definen como los lugares geometricos de todas las com-
binaciones de X1 y X2 que poseen una misma tasa marginal de sustitu-
ciin. Por tanto, constituyen lineas hacia arriba o hacia abajo de la su -
perficie de respuesta que unen puntos de igual pendiente en las isocuan-
tas.

La familiar de ecuaciones se deriva resolviendo:
z X1
(1-6) = K
B X2

Para obtener X1 como funci6n de X2; siendo K el valor de TMS12 que es-
pecifica una isoclina determinada.






- 6 -


A traves dela s ecuaciones (1-1) y (1-6) es evidence quel a forma y u-
bicacion de las isoclinas depend de la forma de la funcion de respues-
ta original. En particular, si esta present un maximo, las isoclinas pa-
sar'n por l1. La funci6n de producci6n tambi'n determine si las isocli-
nas nacen o no en el origen.

Las lineas limits son aquellas dos isoclinas especiales para las cuales
la TMS12 es igual a cero o infinite.

Para n factors variables los concepts enunciados anteriormente tienen
las mismas ecuaciones, que para la discusi6n efectuada con dos varia-
bles. En resume sera :

(1-7) Y = f(X1, X2 .............Xn)

(1-8) P Mgi = Y
3X1


(1-9) TMSij P Mgi
P Mgj

X.
(1-10) ESij = TMSij ( )
Xi


(1-11) Ei Y X i= 1, 2......... n
SXi Y

P Mgi
P Pxi


Rendimientos Crecientes, Decrecientes y Decrecientes a Escala.

El estado actual del conocimiento de la teoria respect a la respuesta
de los cultivos y animals a los nutrimentos establece que:

Debe existir una relaci6n causal continua.entre las X (insumos) y
Y productionn).

Deben prevalecer rendimientos decrecientes para los Xi, de modo
que las cantidades adicionales de product obtenidas con sucesivas
unidades de Xi son cada vez menores.









-7-


Deben prevalecer rendimientos decrecientes a escala, de :modo que
un incremento proporcional en todos los factors original un creci -
miento proporcionalmente menor en la cantidad producida.

El primer supuesto enunciado anteriormente significa que existen las pri-

meras derivadas de la funci6n (1-1). El segundo revela que XY
aXi aXi

decrece cuando Xi aumenta, lo que significa que las segundas derivadas
S2 y existen y son negatives, y el tercer supuesto advierte que :
3Xi2


(1-12)) ) < 1. 0
Y \ Xi

i = 1, 2 ......... n

La expresi6n anterior es la suma de elasticidades de produccoin.

Existiran rendimientos crecientes a escala si la suma de las elasticida-
des es mayor que uno; constantes si esa suma es igual a uno y decre-
cientes si la suma de elasticidades para los factors de producci6n es
menor que uno.

En realidad a menudo se supone que las fases de rendimientos crecien-
tes, constantes y decrecientes se registran en secuencia a media que
Xi aumenta. Sin embargo, desde el punto de vista economic, solo inte-
resa la fase de los decrecientes.


EFICIENCIA DE LA RESPUESTA


Prop6sito del Analisis de Respuesta.

La respuesta cultivos y a pecuarios es necesario estudiarla por dos mo-
tivos. En primer lugar, la finalidad puede ser de 'tipo positivista para des-
cribir el process de respuesta. A excepcion del fen6meno fisidlogico basi-



SAlgunos temas de este literal estan basados en Dillon, J.L. 1967.
Introducci6n al analisis de respuesta de los cultivos y pecuarios. Ed.
del Pacifico S.A. Santiago- Chile. 126 p.






- 8 -


co que explica la causa por la cual la respuesta obedece a un patron de-
terminado. El otro prop6sito de este analisis puede ser normativo, con el
objeto de resolver un problema. Mas que el simple conocimiento en si,
el enfoque'normativo tiene como meta la manipulacion del process de res
puesta con el fin de alcanzar un resultado 6ptimo. El objetivo normativo
especifico dependera del interns particular del investigator. Puede flue -
tuar desde consideraciones de orden fisiologico hasta una determinada im
portancia econ6mica. Ademas, mientras la investigaci6n de respuesta pue
de, inicialmente, realizarse con un investigator siempre dentro de fines
positivistas, los datos obtenidos seran con frecuencia adaptables a fines
normativos, por algin otro especialista. El analisis normativo, sin em-
bargo, con enfasis en el tratamiento de respuesta, require una superes-
tructura adicional de principios analiticos, aparte de los enunciados para
las superficies de respuesta.

Condiciones Optimas de Operaci6n.

Dado el prop6sito normativo particular, el tratamiento del process de res
puesta se efectia controlando los niveles de insumos. As, las condiciones
6ptimas de operaci6n, las determine el conjunto de cantidades de insumos,
con los cuales se alcance la meta especificada, cualquiera que esta sea.
Precisando el conocimiento de la funcion de produccion y la especificaci6n
de la meta, el problema analftico se reduce a encontrar las condiciones
optimas de operaci6n.

Ganancias de Producto y P6rdidas de Insumos.

Todo process de respuesta de cultivos y animals conlleva factors de ga-
nancias y perdidas. Las ganancias estan constituidas por el product y las
p6rdidas por los insumos consumidos en el process de producci6n. Las con
diciones 6ptimas de operacion surgeon cuando se maximize el ingreso neto
del productor, midiendo las ganancias y las p6rdidas en relacion con una
meta normativa ya especificada. Para dicho fin es necesario que las ganan
cias y las perdidas se midan en unidades comparable, para convertir las
X (insumos) y las Y productso) en unidades comparable, cada una debe
ser ponderada por un factor de conversion apropiado y deben ser elegidos
a priori por el investigator sobre alguna base pertinente que ofrezca vias
para el objetivo de lograr las mas eficientes y positivas condiciones de
operation.

En el siguiente numeral se hara claridad sobre lo que se ha venido expo-
niendo.

Un factor variable, dos factors variables y n factors variables.

Para un factor variable la funci6n de respuesta es como sigue:








- 9 -


Y = f(X)

y la funci6n objetiva sin restricciones es:

(1-13) IN = Py Y P1 X1 1/


En donde : Py > 0 y Px1 > 0


Py y Pxl son las constantes de conversion para Y y X respectiva-
mente. Si no se emplearan las ponderaciones Py y Px1 para reducir el
product y los insumos variables a una media comun (valor en pesos),
seria impossible obtener los ingresos (P y Y) y los costs (Px1X1).

Sin tales ponderaciones no habria manera de comparar los ingresos ne-
tos al aplicar diferentes niveles de los insumos.

Se puede tambien escribir:


IN = Py f(X1) 6 simplemente IN = g (X1)

Puesto que los precious son constantes.

Deben estipularse dos condiciones importantes acerca de la funci6n obje-
tiva (ecuaci6n 1-14). En primer lugar, los precious no pueden ser negati-
vos. Si Py fuera cero o menor que cero, no se debe producer. La segun
da condici6n sobre la funci6n objetiva es que con frecuencia la meta a
maximizar IN (ingreso neto) esta sujeta a una o mas restricciones. Por
ejemplo, P1 X1 puede ser fijado a un nivel que no pueda excederse, o so-
lo puede disponer de una cantidad limitada de algun (os) insumo (s)varia-
ble (s) para ser asignado(s) entire un numero de process de respuesta.
Cualquiera que sean las restricciones, en principio, el procedimiento es
exactamente el mismo, except que se evalue IN como un maximo condi-
cionado.

Las dos metas normativas mas usuales en el analisis de respuesta de cul
tivos y animals persiguen determinar las condiciones 6ptimas de opera-
cion para: a) obtener el product fisico maximo; y b) obtener el maximo
beneficio.



1/ IN = ingreso neto, el cual solamente tiene en cuenta el costo del in-
sumo (Px1 X ).





- 10 -


Se examinaran ambas metas sin preocuparse de las restricciones, como
es el caso del present trabajo.

En el caso de que Pxl sea igual a cero y Py mayor que cero, se debe-
ra obtener la maxima produccion ffsica possible, y la funci6n objetiva to-
mara la forma.

IN = YPy


En esta funci6n solo existen ganancias y no p6rdidas y la funci6n objeti-
va tendra la misma forma que la funci6n de respuesta.

La maximizacion de utilidades supone aumentar la diferencia entire el va-
lor del product y el costo de los insumos variables empleados. Si el pre
cio del product es Py por unidad y el precio del insumo (X1) es Px1
por unidad, se tiene:


(1-14) Utilidad = PyY Px1 X1


que es igual a la function objetiva (1-13). En otras palabras, y sin que
cause ello sorpresa, los factors de conversion para el anlisis econo -
mico son los precious del mercado del product y los insumos.

Mientras el objetivo de la investigacion-cualquiera que sea-, sea norma-
tivo, las condiciones 6ptimas de operaci6n pueden ser siempre definidas
en terminos de la funcion objetiva semejante a la ecuaci6n (1-13). Sean
P precious monetarios o no, la determinacion de las condiciones 6ptimas
de operaci6n es un problema economic. Por esta raz6n las referencias
a las P seran en su calidad de precious y IN en el caracter de beneficio.
Adviertase que IN no incluye ninguna media de las perdidas que puedan
originarse con el empleo de insumos fijos. Esta omision, en este caso,
carece de importancia, puesto que a corto plazo los insumos fijos no a-
fectan la elecci6n de las condiciones 6ptimas de operacion.

Para maximizar ganancias con un insumo variable se parte de la funcion
objetiva :

(1-15) IN = PyY P1X1 CF


Tomando la primera derivada de la funci6n objetiva se tiene:









- 11 -


SIN p Y p
(1-16) ~ Px y
i X1 P X1 PxI


Para maximizar el beneficio se hace IN igual a cero y se resuelve la ecua-
'xl
2
cion para X1. La condicion necesaria de segundo orden 2 IN < 0.
X2
a X2

Se cumple autom ticamente por haberse supuesto rendimientos decrecien-
tes.

Igualando a cero la funci6n (1-16) la condici6n para maximizar beneficios
es:
Y Pxl
(1-17) -P
3X1 Py

De este modo, sin restricciones, se maximize el ingreso neto, cuando el
product marginal del insumo xl (definido por BY ) es igual a la raz6n
inversa de los precious (Px1/Py). ZX1

Puesto que Px1 > 0 y P > 0, la ecuaci6n (1-17) supone que ,
SXI
nunca puede ser negative el nivel que X1 maximice el IN.

No import cuales sean los valores de Px1 y Py, la producci6n con cual
quier nivel de aplicaci6n de XI sera irracional cuando el product margi
nal sea negative, porque con un nivel de aplicacion menor del insumQ se
pueden obtener producciones iguales o mayores.

Reordenando la ecuacion de la funci6n objetiva (1-15) en la forma:


(1-18) Y = IN + Pxl X,
Py Py

Para los valores dados de IN, PxI y Py, la ecuacion (1-18) es el lugar geo-
m6trico de todas las combinaciones de X1 y Y que rinden un IN dado.

Con dos factors variables, el procedimiento para maximizar el IN es
semejante al descrito con un insumo variable.


Se tiene :






- 12 -


(1-19)


Y = f(X1, X2)


y la funci6n objetiva sin restricciones es


(1-20)


IN = PyY P1X1 P2X2 CF


La maximizacion de IN respect a los dos insumos variables involucra-
dos en el process productive, consider la soluci6n simult~nea de las
dos ecuaciones.


(1-21)


3IN 0
axl


ZIN 0
0
3X2
2

Para hallar la combinaci6n de X1 y X2 que especifique que las condicio-
nes 6ptimas de operacion. La condition de segundo grado indispensable
para un maximo (que el diferencial d2IN sea negative), se satisface au-
tom6ticamente al suponer que la funcion de producci6n esta sometida a
rendimientos decrecientes (etapa II de la produccion). Tomando las pri-
meras derivadas de (1-20), las ecuaciones (1-21) pueden reescribirse:


3 IN
3X1

(1-22)
3 IN
3X2


= Py
Yax


Py Y
X2


o sea,


3Y
3X1

3YX
3X2


PXI

Py

PX2
Py


De modo semejante al caso de un insumo variable las
ximo beneficio, establecidas por las ecuaciones (1-22),
el product marginal de cada factor (PMgxi) iguala la
precious PXi/Py pertinentes.


condiciones de ma
se cumple cuando
raz6n inversa de


- PX



- PX2


Px1

PX2
P y


> 0

> 0

> 0









- 13 -


Como los precious son siempre positives, las ecuaciones (1-22) indican
que nunca puede llegarse a un beneficio maximo con dos insumos varia-
bles en tanto que PMgxi 6 PMgx2 sean negatives. Lo evidence de esto
es que para cualquier combination de X1 y X2 con PMgxj 6 PMgx2 ne-
gativos, la misma production puede obtenerse siempre con menor canti-
dad de uno, o de ambos insumos.

Para n insumos variables, la election de las mejores condiciones de ope
raci6n es simplemente una extension del procedimiento utilizado en el ca-
so de dos insumos variables. Se tiene:

(1-23) Y = f(X1, X2 ........... Xn)

Siendo la funci6n objetiva
n
(1-24) IN = PyY 2 Pxi Xi
i=1

La maximizaci6n de IN respect a las n variables de insumo implica la
solucion sumultanea de las n ecuaciones.

aIN
-I 0 i = 1, 2, .............n
6 Xi

Dada la forma algebraica de la funcion objetiva y el supuesto de rendi-
mientos decrecientes (en la etapa II), la condici6n de segundo orden pa-
ra un maximo (que el diferencial d2IN sea negative) se satisface auto -
maticamente. Cada una de las n ecuaciones de la expresi6n (1-24) puede
reordenarse y tomar la forma,

(1-25) PMgxi Pxi
Py



(PMgxi) Py = Pxi 3/




2/ Denominado camino de expansion.
3/ Tambien se conoce con el nombre de valor del product marginal.






- 14 -


La solucion de este sistema permit obtener el conjunto de las Xi que
determinan las condiciones 6ptimas de operaci6n. La sustituci6n de es-
tos valores en las funciones de respuesta y objetiva, respectivamente,
proporcionan los niveles de product 4/ y beneficio a lograrse bajo las
condiciones 6ptimas de operation. Es de anotar que, puesto que Pxi y
Py deben ser positives, las ecuaciones (1-25) seflalan que PMgxi debe
ser siempre positive para maximizar el beneficio. Como en los casos
de uno o dos insumos variables, la producci6n con cualquier PMgxi ne-
gativo es de todas maneras irracional. Por tanto, el rango de opera-
cion sera en el cual todos los products marginales sean positives.

































4/ Este es llamado producci6n 6ptima con la cual se maximize el in-
greso neto.












CAPITULO II


FUNCIONES MAS EMPLEADAS EN EL PROCESS DE RESPUESTA 5/


Mitscherlich :

Esta ecuaci6n se basa en dos supuestos principles: 1) una maxima pro-
duccion A existe para un cultivo cualquiera en un suelo dado y 2) el in-
cremento en la production debido a las adiciones del fertilizante es pro-
porcional a la disminuci6n a partir de la maxima production que puede
obtenerse, cuando el fertilizante se aplica en forma indefinida. Matema-
ticamente puede expresarse como;

(2-1) dy c(A-Y)
dx
donde dy/dx es la tasa de incremento en la producci6n Y producida por
adiciones del nutriente X; c es una constant de proporcionalidad, mas
tarde Mitscherlich la propuso como una constant diferente e indepen -
diente para cada factor. Integrando la ecuaci6n (2-1) se tiene:


Y = A 1 1-c(Xb)


en donde Y es la produccion, A la production maxima, c el coeficiente
de eficiencia del fertilizante y b la cantidad de nutrimento en el suelo
antes de hacer cualquier aplicacion.

El empleo de esta funci6n present los siguientes limitantes : 1) esta
ecuaci6n no present una zona donde los rendimientos disminuyen con
el agregado excesivo de fertilizantes (etapa III) y 2) ademas al conside-
rar solamente un factor variable no permit analizar las interacciones
entire los elements nutritivos.




5/ Existen muchas otras funciones ademas de las aquf discutidas tales
como la logaritmo, semilogaritmo, y otras formas mas sofisticadas.

La discusi6n amplia de esta funci6n se encuentra en: Eid, M.T.
Black, C.A. Kempthorne, 0. y Zoellner J.A. 1954. Significance of
soil organic phosphorus to plant growth. Agr. Exp. Sta. Iowa. State
Coll. Research bull 406. Iowa, 31 p.






- 16 -


Spillman

La ecuaci6n de esta funci6n es la siguiente:

Y = M ARx

en donde Y es la producci6n, M es la maxima production obtenible, Aes el
maximo teorico obtenible al incrementar X, R es tasa de los incremen-
tos sucesivos en la producci6n y X es el insumo aplicado.

R esta definida como:


AY2 AY3 _Yn
AY1 AY2 AYn-1


donde AY1 es el incremento en la producci6n debido al primer incre-
mento de fertilizante, AY2 por el segundo.

Otra expresion de la ecuacion de Spillman es:


Y = M ( 1 Rx )

La ecuacion de Spillman es similar a la de Mitscherlich con la excep-
ci6n de que la tasa R de encrementos sucesivos en la producci6n no se
asume constant para un nutrimento dado, sino que puede variar con el
suelo y las condiciones climaticas.

La M de la ecuaci6n de Spillman corresponde al valor A de Mitscherlich,
mientras que la A y la Rx de Spillman correspondent en Mitscherlich a
10-cb y 10-cx respectivamente.

Para tres nutrimentos Spillman en 1933 propuso la siguiente funci6n:


Y = M3 (I-Rn+a) (l-Rp+b) ( -Rk+c)


en donde n+a es la cantidad de nitr6geno en el suelo mas la aplicada,
p+b y k+c son respectivamente las cantidades de f6sforo y potasio apli-
cados mas las cantidades existentes en el suelo. Los otros son pard -
metros anteriormente definidos y M3 es la maxima producci6n obtenida
con los tres nutrimentos.








- 17 -


Cobb-Douglas

La formula general para un solo nutrimento de la funcion Cobb-Douglas
es la siguiente:

Y = AXb

Siendo

Y = product
A = Constante
X = Insumo variable
b = raz6n de transformaci6n cuando cambia X
b = tambien significa la elasticidad de producci6n

En forma logaritmica la funcion tambien toma la siguiente forma:


Log Y = Log A + b Log X


Cuando se emplea mas de un insumo variable, la formula general es:


Y = AX bl X2b2 X3b3 ....................... Xnbn


En forma logaritmica queda asf:


LogY = logA + b1 logX1 + b2 log X2 + b3 log X3 + ........ bn log Xn


Siendo b b2, b3, ......... bn los coeficientes de producci6n individual
les, o tambien las elasticidades de production individuals.

La suma kdefinida por S) b1 + b2 + b3 + ......... bn expresa los rendi-
mientos a escala. Si S = 1.0 existen rendimientos constantes a escala

S> 1.0 rendimientos crecientes a escala
S< 1.0 existen rendimientos decrecientes a escala

Ventajas y Desventajas:

Ventajas : Permite fijar la funcion con facilidad, con ella se puede ana-
lizar un solo factor variable.








- 18 -


Desventajas : No permit obtener un maximo possible

Con ella solo se puede analizar una de las etapas de pro-
duccion.

Cuadratica

La funcion cuadratica puede presentar las siguientes formas:

Para un solo insumo

Y = A + b x1 + b2 x1

Y = producci6n
A = constant (produccion que se obtiene sin aplicar fertilizantes)
b1 = coeficiente de producci6n del factor variable
x1 = factor variable (al variar linealmente )
b2 = coeficiente de producci6n del factor variable (al variar cuadratica-
mente )
X12= factor variable (al variar cuadr6ticamente)

Para dos factors variables con interaccion entire ellos

Y = a + blx1 + b2x2 + b3x12 + b4x22 + b5x1x2


Tambien se puede presentar interacci6n lineal-cuadratica (x2x2, x12x2) e
interaccion cuadratica cuadratica (X12 X22). Estas ultimas in eracciones
no se incluyen porque aportan poco al analysis y hacen la ecuacion mu -
cho mas compleja y diffcil de manejar. Cuando existen n factors la e -
cuacion se puede generalizar, teniendo en cuenta todas las posibles in -
teracciones lineales entire ellos.

Raiz Cuadrada.

Para un solo factor variable la function serfa:

Y = A + blx1 + b2

6 tambi6n

Y = A + b x + b2x2
1 2 1
La funcion raiz cuadrada se puede considerar como una variacion de la
cuadratica. Teniendo en cuenta se puede generalizar la raiz cuadrada lo







- 19 -


mismo que la cuadratica para dos o mas factors, teniendo en cuenta que
en vez de los terminos cuadraticos (X12, X22, ........Xn2) van las raf-
ces cuadradas (X12- X2, Xn ).

Cibicas:

La funci6n cibica para un solo factor seria:

Y = A + bx1 + b2x12 + b3x13

Para dos factors sin interacci6n entire ellos:

Y = A+ blx1 + b2x12 + b3x13 + b4x2 + b5x22 + b6x23

Para dos factors sin interacci6n lineal serfa:

Y = A + blx1 + b2x 2 + b3x13 + b4x2 + b5x22 + b6x23 + b7X1x2

Tal como se explic6 para la ecuacion cuadratica, se pueden incluir n
factors con todas las posibles interacciones entire ellos. Lo mismo es
v'lido para la no inclusion de interacciones por encima de las lineales.

SELECTION DE FUNCIONES

Para efectuar el analisis de la producci6n fisica (ton/Ha de cana de
azucar) se empleo el sistema de superficies de respuesta, mediante el
cual se puede seleccionar la funcion de producci6n que mas se adapted a
los resultados 'obtenidos.

Dicha seleccion se lleva a cabo a traves de ciertos criterios como: 16-
gica a priori, basado en la experiencia del investigator y los analisis
graficos del experiment. Ademas, se utilizan otros criterios estadfsti-
cos como el coeficiente de determinaci6n, la significancia de los coefi-
cientes dentro del modelo y el analisis de varianza. Todos los anterio-
res criterios son discutidos en una seccion posterior de este capitulo.

Criterios de Selecci6n de Funciones.

L6gica a Priori:

Para decidir acerca del tipo de forma de relaci6n functional es de gran
importancia la experiencia que el investigator tenga acerca del efec-
to de un determinado nutrimento. Asf por ejemplo, si se conoce de
antemano que la respuesta de un element es curvilinea se debe selec-
cionar una funcion que se ajuste a este tipo de efecto.








- 20 -


Observacion Grifica:

Es muy probable que la parte del analisis que le rinde mas prove -
cho al investigator es la familiarizacion con los datos. Los calcu -
los estadisticos s6lo sirven como herramienta para la selecci6n de
funcidnes y no son una meta para las labores del investigator. Por
ello, es precise que el investigator conozca bien sus datos para que
pueda sacar conclusions apropiadas.

Ademas de que el investigator esta familiarizado con los datos, la
mejor manera de conocer los mismos es verlos en forma grafica.
Una vez graficado los datos es possible formular ideas sobre el com-
portamiento de los factors, o sea, emitir juicios sobre la possible
relacion funcional existente entire la producci6n de un determinado
cultivo a la aplicaci6n de uno o mas insumos. Por otra parte, es
possible crear relaciones evidentes a ojo que en realidad no existen.
Sin embargo, la primera etapa de un buen analisis de datos experi-
mentales es llevarlos a una o mas grificas.

Es relativamente facil estudiar la relacion entire dos variables, pero
se hace mis complicado cuando el numero de variables es superior
a dos. Una manera Util de estudiar esto es sumar las variables in-
dependientes en una unidad comun. En el present caso se puede ob-
tener la suma de N + K20 y graficar 6sta contra la production me -
dia para cada tratamiento, tal como se hace en el experiment que
se describira a continuacion y se analizard en el proximo capitulo.

Bondad de Ajuste y otros Criterios Estadisticos. 6/

Esta es una informaci6n a posteriori, ya que primero se fija la fun
ci6n de produccion y posteriormente se obtiene el R2 6 coeficiente
de determinaci6n. El R2 es una de las medidas estadisticas que per
mite ver como se ajusta el modelo seleccionado a los datos del ex-
perimento.

Este coeficiente es la proporci6n de la variaci6n total explicada por
la regresion.



6/ Ademas del R2, se deben tener en cuenta la significancia de los
coeficientes y el analisis de varianza. Estos dos ultimos concepts
son discutidos ampliamente en el apendice 1.







- 21 -


En el caso de estar estimando una superficie de respuesta para un deter-
minado cultivo, o animal, el R2 explica la proporci6n de varianza debida
a los factors que esten involucrados en la funci6n estimada. Asf por e -
jemplo, si se design la production por Y y los insumos por X1, X2....
Xn, el coeficiente de determinaci6n ser :


i=n n
bi 2 Xi Yi 2 Y.

2 i= 1 i=1
u n

i=l i=l


n
en el cual, bi 2 Xi Yi; es llamada suma de cuadrados de la regresion
i=1 n
con respect a la media y z Yi2 es la suma de cuadrados total con
i=l
respect a su media, 6sta iltima est6 compuesta por la suma de cuadra-
dos de la regresi6n m6s la suma de cuadrados del error 6 sea

n 2 n n 2
2 Yi = i2 + ei
i= 1 i=l i=l

Mediante la bondad de ajuste (R2), el investigator puede determinar el ti-
po de funci6n mas adecuada para sus datos. Sin embargo, este solo crite-
rio no es suficiente para seleccionar una determinada funcion, por tanto,
se hace necesario recurrir a otros criterios como los que se discuten a
continuacion para seleccionar una funcion que interpreted el fenomeno estu-
diado.

Logica a Posteriori.

Despu6s de haber escogido una funci6n de production utilizando los crite-
rios de selecci6n discutidos antes, se procede a realizar un u1timo che -
queo. Este consiste en obtener la maxima producci6n ffsica empleando la
funcion seleccionada. Las cantidades de insumos para obtener dicha pro-
duccion deben ser iguales o menores a las cantidades maximas de insu -
mos aplicadas en el experiment. En caso contrario, la function debe re-
chazarse.

Debe tenerse en cuenta que el analisis econ6mico a trav6s de superficies








- 22 -


de respuesta se lleva a cabo cuando la experimentaci6n de respuesta
fisica a la aplicacion de insumos, ha establecido el comportamiento
de producci6n del cultivo o del animal y las dosis de insumos mas
recomendables para dicho comportamiento.

Puede darse el caso que un experiment de respuesta ffsica haya si-
do incomplete, o exploratorio, o mal llevado y en este caso no se
debe hacer un analisis economic. Cuando se juzgue convenient lle-
varlo a cabo, se harfa con el unico objeto de mostrar el por que el
experiment fue incomplete o mal llevado y los inconvenientes de a-
plicar sus resultados.

Descripcion del Experimento.

Sitio. El experiment se llev6 a cabo en 1966-67 en el municipio de
Frontino, el cual esta a 1.425 m.s.n.m. con una temperature
promedia de 22oC, una precipitacion annual de 2150 mm. con perfo -
dos secos desde enero a mediados de marzo.

Experimento realizado.

Se escogi6 la variedad P.O.J. 28-78 que ocupa el 80% de los culti-
vos comerciales de la zona.


El experiment consistio en un diseflo de bloques al azar con tres
replicaciones .y 24 tratamientos.

Las parcelas fueron:

10,80 mts. ancho 15,00 metros largo
Calles entire las parcelas 3,0 metros
Calles entire los surcos 1,80 metros
Distancia entire plants 1,00 metros
Surcos por parcela: 6
Plantas por surco: 15
2 colinos de cuatro yemas colocados horizontalmente en cada hoyo.

Se aplicaron por hectarea las siguientes cantidades de:

N 0 50 100 150 200 250
P 100 100 100 100 100 100
K 0 50 100 150

En el moment de la siembra debajo de los colinos y cubierto con







23 -


suelo, se aplic6 todo el P, una quinta parte del N. La segunda apli
caci6n se efectu6 tres meses mas tarde aplic6ndose dos quintas par-
tes de nitr6geno y la mitad restante del potasio en forma de corona.
Cinco meses mas tarde se aplicaron las dos quintas parties que fal -
taban del N. A los 16 meses se tomaron al azar y se pesaron 20
plants de los 4 surcos centrales.

Los resultados en toneladas por hectarea, se utilizaran en el capitu-
lo terceropara llevar a cabo el analisis agroecon6mico.











CAPITIJLO III


ANALYSIS AGROECONOMICO DE UNA FERTILIZACION
EN CANA DE AZUCAR PARA PANELA









En este capitulo se establecera no solo la respuesta del cultivo a la a-
plicacion de nitrogeno y potasio, sino tambien, las dosis mas recomen
dables desde el punto de vista econ6mico, suponiendo constant tanto el
precio del product como el precio de los factors involucrados en el
process de producci6n. Posteriormente se encontraran las dosis 6pti-
mas al variar tanto los precious del product como de los insumos.

Analisis de los Datos y Seleccion de Funciones:

Analisis de los Resultados.

Los resultados del experiment aparecen en la Tabla 1.

Con base en los resultados se puede ver que al aumentar el K, dejan-
do el N constant los rendimientos se incrementan en forma decrecien
te, llegan a un maximo y por iltimo empiezan a disminuir. Por lo tan
to, sera necesario seleccionar funciones que muestren este comporta-
miento como es el caso de las cuadraticas. Sin embargo, consideran-
do el nitr6geno como factor variable (con dosis constantes de potasio)
se observa que a dosis bajas existen rendimientos crecientes; en cam-
bio, a dosis altas de N la production se incremental pero en forma de
creciente, lo que hace necesario seleccionar funciones que muestren
este resultado como es el caso de las cibicas. Este analisis de los
resultados experimentales induce al investigator a formular funciones
te6ricas con terminos cuadraticos para el potasio y terminos cubicos
para el nitr6geno.

Fuera de las formas de las curvas es necesario pensar en la posibles
interacciones existentes entire el N y el K. Por lo cual, se pediran al
computador formas cuadraticas y ctibicas con y sin interacci6n para
que despues de recibir los resultados, se apliquen los concepts teori-






- 25 -


Tabla 1. Rendimiento promedio en ton/Ha de la cafla de azucar para
panela en un ensayo de fertilizaci6n en Frontino (Antioquia),
1967. 7/.


--------------------------------------------------
Kilogramos Kilogramos de Potasio por Hect6rea (K20)
de Nitr6geno
por Hectarea 0 50 100 150
--------------------------------------------------


75,23


87,00


110,31


160,35


221,82


235,40


100


150


200


250


90,32


110,91


170,63


226,47


247,00


244,02


88,65


106,82


184,32


243,70


267,81


257,10


94,38


97,98


175,43


250,69


276,68


274,53


Fuente: Velez, W.B. 1967. Fertilizaci6n de cafa de azucar para pa-
nela en el Municipio de Frontino (Antioquia). Tesis U. N.
Facultad de Agronomia e Int. Forestal. Medellin 120 p.


7/. La cosecha no pudo expresarse en cantidad de panela porque de-
bido al sistema de elaboraci6n, relativamente rustico, es diffcil
calcular las perdidas y separar las pequeflas cantidades de miel
por parcela.

Hay que tener en cuenta que las altas dosis de N, lo mismo que
las diferentes combinaciones de N y K afectan la concentraci6nde
los jugos, lo cual no permit establecer una relaci6n direct en-
tre peso de cafla y producci6n de panel.







- 26 -


cos en la seleccion del modelo final de respuesta. Por lo tanto, se
sugiere para los datos de cafia de azucar para panela solicitar al
computador las siguientes ecuaciones:

YI = a + blN + b2K + b3N2 + b4K2

Y2 = Y1 + b5NK

Y3 = Y2 + b6N3

Y4 = Y2 + b6K3

Y5 = YI +bgN3
Y5 =Y + b5N3

Y6 = Y + b5K3

Y7 = Y5 + b6K3

Y8 = a + blN + b2N2 + b3N3

Y9 = Y7 + b7NK

Y10= a + blK + b2K2 + b3K3

Y11 = a + blN + b2N2

Y12 = a + blK + b2K2

Un auxiliar mas para el investigator en la selecci6n de la funci6n
mas apropiada es el analysis grafico.

Analisis Grafico.

El analisis gr6fico se realize a partir de las tablas 2 y 3. En la ta-
bla 2 para diferentes niveles constantes de nitrogeno se varian las do
sis aplicadas de potasio para observer el efecto del mismo en la pro
ducci6n de cafa de azucar para panela. En esta tabla puede observer
se como se incrementa la production de 75,23 toneladas por Ha. a
94,38 ton/ha cuando el potasio varia de 0 a 150 kilogramos por Ha.
combinado con 0 kilogramos por hectarea de nitr6geno. Este mismo
efecto, puede verse en cualquiera de las combinaciones donde el N
permanece constant.

En la misma tabla puede observarse como a media que se incremen
ta la combinaci6n N y K (Vease column N + K), la producci6n mues
tra una tendencia a incrementarse desde un valor promedio de 87,12







- 27 -


Tabla 2. Efecto en la producci6n de cana para panela de la aplicacion
de diferentes dosis de potasio con cantidades constantes de
nitrogeno.

----------------------------------------------------------
N K N + K Produccion/Ha.
Kg/Ha Kg/Ha

0 0 0 75,23 AI
0 50 50 90,32 A2 A
0 100 100 88,65 A3
0 150 150 94,38 A4
Promedio 87,12
----------------------------------------------------------
50 0 50 87,00 B1
50 50 100 110,91 B2
50 100 150 106,82 B3 B
50 a/ 150 200 97,98 B4
Promedio 97,43
----------------------------------------------------------
100 0 100 110,31 C1
100 50 150 170,63 C2 C
100 100 200 184,32 C3
100 b/ 150 250 175,43 C4
Promedio 160,17

150 0 150 160,35 D1
150 50 200 226,47 D2
150 100 250 243,70 D3
150 150 300 250,69 D4
Promedio 220,30

200 0 200 221,32 E1
200 50 250 247,00 E2 E
200 100 300 267,81 E3
200 150 350 276,68 E4
Promedio 253,20

250 0 250 235,40 F1
250 c/ 50 300 244,02 F2
250 d 100 350 257,10 F3 F
250 e/ 150 400 274,53 F4
Promedio 252,76


a/ y Jb Efecto negative del potasio.


Efecto negative del nitr6geno.


c/ d/ y ej








- 28 -


Tabla 3. Efecto en la producci6n de cana para panela de la aplicaci6n
de diferentes dosis de nitr6geno para cantidades constantes
de potasio.


Promedio


Promedio


100
100
100
100
100
100
Promedio


150
150
150
150
150
150
Promedio


100
150
200
250


50
100
150
200
250


0
50
100
150
200
250


0
50
100
150
200
250


50
100
150
200
250


100
150
200
250
300


100
150
200
250
300
350


150
200
250
300
350
400


75,23
87,00
110,31
160,35
221,32
235,42
147,77


90,32
110,91
170,63
226,47
247,00
244,00
181,56


88,65
106,82
184,32
243,70
267,81
191,38
180,45


94,38
97,98
175,43
250,60
276,68
274,53
194,95








- 29 -


ton/Ha, a un maximo de 253,20 ton/Ha, lo cual puede apreciarse en los
pormedios de la tabla mencionada.

El comportamiento de la produccion explicado anteriormente, se muestra
en el grafico 3, mediante las curvas A, B, C, D, E y F. sin embargo,
cuando la dbsis de nitr6geno se aumenta de 200 a 250 Kg/Ha combinada
con 50 con 100 y 150 Kg/Ha de potasio la producci6n disminuye; por tan-
to la curva F esta por debajo de la curva E, debido a efectos negatives
del nitr6geno.

Desde el punto de vista de la producci6n ffsica, cuando el productor dis-
ponga de un presupuesto muy bajo lo m6s convenient para el es la apli-
cacion de ambos nutrimentos en una proporci6n de 50 kg/Ha de N y 50
kg/Ha de K, con la cual obtiene una producci6n de 110,91 Ton/Ha de ca-
fla; (H2 en la tabla 3) porque si aplica solamente 100 Kg/Ha de N la pro-
duccion se diminuye en 0,60 Ton/Ha (H2-G3) de cafla y si aplica potasio
exclusivamente (100 Kg/Ha) la producci6n disminuye en 22,26 ton/Ha(H2-11).
Ademas de la disminuci6n en la producci6n, seguramente se presentara de-
sequilibrio en el metabolismo de la cafia. Este resultado puede observarse
en la linea AA' del grafico 4 y en los puntos III, II y I de la linea men -
cionada.

En el caso de que el agricultor disponga de un presupuesto suficiente para
aplicar altas dosis de fertilizante, la maxima cantidad que debe aplicar
de nitr6geno es 200 Kg/Ha, ( combinado con 150 Kg/Ha de potasio ),
ya que con esta se obtiene la maxima produccion ffsica possible (276,68
Ton/Ha. de cana ) 8/ puesto que, al aplicar mayores cantidades de nitro
geno, en combinaci6n con menores cantidades de potasio ( Punto 16 de la
line BB' del grafico 4 ), o iguales de nitrogen ( 250 Kg/Ha ) con mayo -
res de potasio (punto J6 del gigfico 4 ) la producci6n obtenida con estas
dos l6timas combinaciones es menor; las cuales son respectivamente :
191,38'y 274,93 ton/Ha de cafa de azucar para panel ( vease tambien
tabla 3 ).


De acuerdo con la tabla 3 y el grafico 4, si el agricultor tiene un pre-
supuesto muy bajo, se tendra que conformar con bajas producciones de-
bido a que tiene que aplicar bajas dosis de fertilizantes. Observese la





S Esta cantidad sera revaluada mas adelante cuando se realice el ana-
lisis economic.





GRAFICO N 3 :


EFECTO EN LA PRODUCTION DE CANA PARA PANELA,DE DIFEREN-
TES DOSIS DE POTASIO PARA CANTIDADES CONSTANTES DE NITRO-
GENO.


OF3


250 -.


C4
%%. 11


150 --


50 1


SI I -1- -
0 50 100 150 200
FUENTE :TABLA N0 7


I 4 -- -


AS 0 Kg. N/Ho.

--- B= 50 Kg. N/Ho.

C-- 100 Kg. N/Ha.

-**-* D= 150 Kg. N/Ha.

SE 200 Kg. N/Ha.

---- F= 250 Kg. N/Ha.


-/ 1 B4
A4B
AP/ A



'Al
B,^^^A ^







- 31 -


lfnea CC' del citado grafico que corresponde a una producci6n de 100
Ton/Ha de cafla. El punto 1 de la line antes mencionada corresponde
a una combinacion de 50Kg/Ha y 25 Kg/Ha de potasio y nitrogeno res-
pectivamente, la cual es la dosis m6s recomendable, 9/ puesto que si
disminuye la cantidad de potasio a cero, tendria que incrementar la
cantidad de nitr6geno a 75 Kg/Ha ( combinaci6n que aun considerando
los precious de los dos nutrimentos iguales 10/ puesto que reemplaza-
rfa los 50 Kg/Ha de K por 50 Kg/Ha mas de N), podrfa ocasionar
problems de toxicidad a la cana, y como se puede ver en el grafico
la producci6n disminuirfa a 96 Ton/Ha de canra ( Punto G2' ).

Este mismo analisis puede efectuarse para altas producciones si el
productor dispone del presupuesto suficiente. Analicense los puntos 3,
6 y 9 correspondientes a la linea DD' en el grafico 4.

Selecci6n de la Funcion.

Unavez el investigator recibe los resultados del computador, se ini-
cian las etapas finales del analisis, cuyo objetivo sera el de seleccio-
nar la funci6n de respuesta y la de sacar conclusions tanto fisicas co-
mo economics.

Al comparar los resultados del experiment con las producciones cal-
culadas empleando las doce funciones solicitadas al computador se se -
leccionaron los models:

Y1 = 41,91928 + 1,083N + 0,75636K 0,00125N2 0,00302K2

Y2 = 51,56177 + 1,00652N+ 0,06278K -0,00125N2-0,00302K2+0,00102NK

.Y3 = 65,03439 0,22527 N+0, 62779K 0, 01223N2-0, 00302K2-0, 00003 N3 +
0, 00102 NK.






9 Anteriormente se habia dicho que la relacion era 50 de N y 50 de K,
lo cual es congruente con lo que se acaba de establecer, puesto que,
si el productor puede incrementar la cantidad de nitr6geno la produce
ci6n obtenida sera 110,91 Ton/Ha de caAa correspondiente' al punto
H2.

10/ El precio del nitr6geno en el moment del studio era $7,14/Kg. y
el del potasio $ 5,10/Kg.




GRAFICO Ng 4: EFECTO EN LA PRODUCTION DE CANA DE AZUCAR PARA PANELA,
A LA APLICACION DE DIFERENTES DOSIS DE NITROGENO CON
CANTIDADES CONSTANTES DE POTASIO.
_


280





250









200.









150 .









100.









50.


IH
I 5
I
I








I
H.

I /
-I











I I
1/ /


\'



\r I


















--------- ----------
I
\
I
ill





















_ - -- -- -- -


/
/


/

/3
I/
/
I


G = O Kg. K/Ha.
--- H= 50 Kg. K/Ha.
-*- I = 100 Kg. K/Ha.
-.--.. J = 150 Kg. K/Ha.


0 50 100 1I0 200 250 300 350 400
FUENTE : TABLA No 8 N/K20 = K







- 33 -


Y5 = 55, 831398 0,1347341 N+0, 745855 K 0, 012081 8N2 0,0029714K2
0, 0000355 N3.

Para llevar a cabo la selecci6n del modelo que mejor interpreted los resul-
tados del experiment; a las cuatro funciones anteriores se les aplicaran
los concepts te6ricos descritos en la metodologia, a saber:

Pruebas Estadisticas. 11/

Las pruebas estadisticas empleadas fueron:

Y = f(N, K/P205, agua, suelo, plagas .........)

Solo dos factors involucrados en la funci6n, estos explican cierto porcen-
taje de la producci6n denominada suma de cuadrados de la regresi6n, elres
to es debida a otros factors no involucrados en la ecuacion, los cuales es-
tan incluidos en el termino del error estocastico, estos errors son debi -
dos a la falta de control de las aplicaciones de N, K y otros factors como
riego, plagas y enfermedades que pueden afectar unas parcelas mas que o-
tras. Otra de las razones para incluir el t6rmino del error en el mode-
lo es cuando la forma de la funci6n no es la apropiada, por tanto, se
puede escribir el modelo en la siguiente forma:

Y = f ( N, K, e)

Una vez dada las anteriores explicaciones se procede a emplear las he
rramientas estadfsticas en la selecci6n de funciones:

Coeficiente de determination.

De acuerdo a la tabla 4 se observa que todas las cuatro funciones tie-
nen un coeficiente de determination bastante alto, el cual varia de 0,93
a 0,97. De acuerdo a la definici6n de R2, el rendimiento de caria se
debe en un 93-97 % a estos dos factors.

De acuerdo con estos valores de R2 todas las funciones serian factibles
de seleccionar. Sin embargo, el R2 por si solo no es suficiente como
criterio inico, por tanto se recurre a otros criterios que permitan es-
coger la funcion que mas se adapte a los resultados, tales como los
que se detallan a continuacion.




11/ Los calculos matematicos de todas las pruebas estadisticas aparecen
en el apendice 1.






Tabla 4. Funciones de respuesta de cafia de azicar para panela en un experiment de fertiliza-
cion en Frontino Antioquia. 1971.

------------------------------------------------- -----------------------------------------

Intercepto Variables Independientes j R2 Fc
N K N2 K2 N3 NK
-----------------------------------------------------------------------------------------

Y1 41,91928 1,08365 0,75636 -0,00125 -0,00302 -- -- 0,93 59,45
(5,82)* (2,71) (-1,75) (-1,69)
(0,186) (0,28) (0,00071) (0,00178)
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Y2 51,56177 1,00652 0,6278 -0,00125 -0,00302 -- 0,00102 0,93 48,37
(5,10) (2,10) (-1,76) (-1,70) -- (1,10)
(0,198) (0,003) (0,00071) (0,0018) -- (0,00092)
-------------------------------------------------------------------------------------------------

Y3 65,03439 -0,22527 0,62779 -0,01223 -0,00302 -0,00003 0,00102. 0,97471 103,82
(0,84) (3,27) (4,67) (-2,67) (-5,23) (1,74)
(0,267) (0,192) (0,00261) (0,00113) (0,000001) (0,0006) +
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Y5 55,831398 -0,1347341 0,745855 0,0120818 -0,0029714 -0,0000355
(-0,48) (3,90) (4,33) (-2,47) (-4,86) -- 0,98 109
(0,28) (0,188)) (0,0027) (0,001) (0,000007)
-------------------------------------------------------------------------------------------------

I/ Losvalores de la primera fila para cada funcion correspondent a los coeficientes, los dela segunda fila son
los valores de t calculados y los de la tercera fila correspondent a los valores de las desviaciones tipicas
de los coeficientes.

Nivel de significancia : Es significativo al nivel del 99 %. Los demas valores pueden sacarse de la tabla
t del apendice 2.







- 35 -


Significancia de los coeficientes en las funciones

Observando la tabla 4 se nota que las 4 funciones tienen casi todos los
coeficientes significativos a un nivel de 90 por ciento. Debido a lo ante
rior seria factible seleccionar cualquiera de las cuatro funciones.


Analisis de varianza

El analisis de varianza explica la influencia del nitr6geno y potasio en
la producci6n de cafia de azuicar; es decir, la significancia de todos los
coeficientes en la ecuaci6n. Empleando la tabla 4 se ve que todas las
ecuaciones son significativas a un nivel de confianza del 95 por ciento
12/, por tanto, se tendrfa la posibilidad de seleccionar cualquiera de
las cuatro funciones. Por lo cual es necesario recalcar que las prue -
bas estadisticas por sf solas, s6lo son una herramienta disponible para
el investigator y no la meta para sacar conclusions. Asf que, a pesar
de que las pruebas estadfsticas muestran que todas las funciones son
factibles de seleccionar, se procedio a calcular con las 4 funciones los
valores de N y K que maximizaran y optimizaran la producci6n, encon-
trandose que los niveles que debieran aplicarse de nitr6geno para obte-
ner la maxima producci6n fisica, utilizando los tres primeros models,
son superiores a 250 Kg/Ha de N, cantidad esta que fu6 la maxima do-
sis aplicada en el experiment, aunque las cantidades calculadas de K
se encuentran dentro del rango del experiment. Por tanto, se selec -
ciono la funci6n Y5, la cual interpreta adecuadamente los resultadosdel
experiment y su analisis de varianza aparece en la tabla 5.


Es de anotar que en futures experiments es necesario reducir el ran-
go de los niveles de aplicacion de N y K y ampliar las dosis de dichos
nutrimentos (ej: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200), para observer
mejor el comportamiento de los nutrimentos. Tambien es necesario te-
ner en cuenta, que el disefio en el cual se bas6 el experiment no esel
mas apropiado para las superficies de respuesta.

Es necesario aclarar que aunque los analisis graficos parecen mostrar
interacci6n entire ambos nutrimentos, la existencia de tal interaccion,
no pudo demostrarse mediante los models empleados; y ademas la pro
porcion de varianza que aporta este termino a la ecuacion es demasia-




12/ El por qu6 de la significancia se explica detalladamente en el apen
dice 1.







- 36 -


do baja (0,00471 por ciento) 13/. Este termino se elimin6 del modelo se-
leccionado debido a que producia distorsiones en los resultados. Adem.s
de acuerdo a los analisis graficos el efecto del potasio manifiesta interac-
cion positive y negative con el nitrogeno, razon por la cual no se hace muy
manifiesta su interacci6n con este.

Para concluir con esta discusi6n, para seleccionar funciones de producci6n
en experimentaci6n con fertilizantes, el investigator para sacar conclusio-
nes adecuadas, require tanto de las herramientas estadisticascomo,de sus
conocimientos y la experiencia que tenga de experiments anteriores. Por
tanto, es a veces necesario valerse de especialistas en suelos que hayan tra
bajado en zonas similares (o en la misma zona) para que con su contribu -
cion ayuden a que la experimentaci6n realmente sirva de gufa para las reco
mendaciones a los agricultores.



Tabla 5. Analisis de Varianza del Modelo Seleccionado, 1977



---------------- ------- --1-------- --- -- ----------
Fuente de Variacion Grados de Suma de ICuadrado F.
Fuente de VariaciIn II
ILib. Cuadrados medio Calculada
-------- I-------- --------a----_---
I I I
Debido a la regresion 5 1118.162.5 123.632.5 1 109 *
I I
----------------------------------------
I I .1I
Debido al error 18 3.902.23 216.79

II I
------------H----------4-----+------I---t--- -----i
TOTAL : 23 1
----------------L---- _---_---___ _4 ----__---


* Significativo a un nivel de confianza del 99 por ciento.

F de la Tabla: Puede observarse en el apendice No. 2.





13/ Obs6rvese que la funcion Y3 contiene todos los terminos incluidos en la
Y5 ademas del termino de interacci6n (NK). Los R2 de las citadas ecua
clones difieren en 0, 00471, que es la proporcion de varianza aportada
por la interaccion (NK).











CAPITULO IV


ANALYSIS ECONOMIC DEL EXPERIMENT BASADO EN
EL MODELO SELECCIONADO



Estimaci6n de Rendimientos.

En la tabla 6 aparece el rendimiento estimado promedio de cana de a-
zucar empleando el modelo seleccionado. Al comparar los datos de di-
cha tabla con los del experiment (tabla 1), se observa una gran simi-
litud en ellos, asi por ejemplo, la combinacion de 150 Kg/Ha de N con
100 Kg/Ha de potasio dan como resultado una producciones de 232.26
Ton/Ha y 243.70 Ton/Ha respectivamente calculada y observada de ca-
fa de azucar, lo cual esta mostrando la exactitud del modelo seleccio-
nado. Esta exactitud puede verse mas claramente comparando los valo-
res maximos (272.57 y 276.68 Ton/Ha) y los promedios de las tablas
6 y 1.

Dosis Optima que debe aplicarse de los Nutrimentos.

Despues de comprobar la exactitud del modelo se le puede utilizar pa-
ra obtener la maxima producci6n fisica de cafia para panela, en la si-
guiente forma:

(4-1) Y = 55,831398-0,1347341-N+0,745855K+0,0120818N2 0,0029714K2
0,0000355 N3

Derivando parcialmente con respect a nitr6geno y potasio se obtiene:

(4-2) -3 0,1347341 + 0,0241636N 0,0001065N2 = 0
"N


(4-3) 0,745855 0,0059428 K = 0
SK

Resolviendo las ecuaciones (4-2) y (4-3) se obtiene la cantidad de nu-
trimentos que maximizan la producci6n, asi: 125,51 Kg/Ha de potasio
y 221,17 Kg/Ha de nitr6geno. Al reemplazar estos valores enla ecua
ci6n (4-1) la produccion resultante es 279,765 Ton/Ha de cafta de azu
car para panela, la cual es la production fisica maxima.


















Tabla 6. Rendimiento estimado promedio de canla de azucar de acuerdo

al modelo seleccionado.






Kg. K/Ha
---------------------------------------------------
Kg. NHa Kg. K/Ha Promedio

0 50 100 150



0 55,83 85,69 100,70 100,85 85,76

50 74,85 104,71 119,72 119.87 104,78

100 127,60 157,46 172,47 172,62 157,53

150 187,39 217,26 232,26 232,41 217,33

200 227,55 257,41 272,42 272,57 257,48

250 221,40 251,26 266,26 266,41 251,33

Promedio 149,10 178,96 193,97 194,12







39 -


Con el fin de determinar las cantidades de nutrimentos que optimicen la pro
ducci6n se igualan los products marginales de cada uno de ellos a las
relaciones entire su propio precio y el precio de la cafa de aziicar para
panela 14/ es decir :


BY PN
-- PMg N -P
- N PY


Y PK
'-3 PMg K -
aK PY

6 sea :

(4-4) 0,137341 + 0,0241636 N 0,0001065 N2 = 7,14
600

(4-5) 0,745855 0,0059428 K = 5,10
600

Resolviendo las ecuaciones (4-4) y (4-5) se encuentra que los valores
que optimizan la producci6n son: N = 220,53 Kg/Ha y K= 124,38 Kg/
Ha. Al reemplazar estos dos valores en (4-1) la produccion 6ptima es
de 279,757 ton/Ha de cana de azucar.

La produccion maxima y 6ptima obtenidas son aparentemente muy al -
tas con respect a la producci6n promedia national que es de 33 ton/
Ha de cafna de azucar. Sin embargo, con base en los siguientes datos:
15/.





14/ Los datos del experiment estan dados en cafia y no en panela, por
lo tanto se realize una reducci6n del precio de la panela a cafa, que
corresponde a la siguiente relacion: panela/cafia igual a una ton/
carga = 10/1, sin tener en cuenta los costs de procesamientode la
panela.
El precio de la panela es: $ 6.000/ton.
PN= $7,14/kilo. PK $ 5,10/kilo. PY =$ 600/ton. cafa de azucar.

15/ Los datos fueron suministrados por el Dr. Antonio Herron, Jefe del
Program de diversificacion cafeteria en Antioquia.







- 40 -


Cultivo traditional: 25-30 ton/Ha por corte.

Cultivo tecnificado: 16/ rendimiento maximo203 ton/Ha por corte.
minmo 132 ton/Ha por corte.
promedio 150-180 ton/Ha por corte.

Y teniendo en cuenta el control del experiment y el area reducida del
mismo, los rendimientos obtenidos a partir del modelo se hacen mas
reales.

Variacion de las Dosis Optimas al Variar los Precios de los Insumos
y del Producto.

Con el fin de observer tanto la variaci6n de la producci6n 6ptima y las
cantidades que se deben aplicar de ambos nutrimentos se varfan tanto
el precio del product como los de nitrogeno y potasio. Estos resulta-
dos aparecen en la tabla 7. Del analisis de esta tabla se puede conclu
ir que las cantidades de nitr6geno y potasio, que hacen 6ptima la pro -
duccion, son muy poco sensibles a las variaciones de los precious tanto
del product, como de los insumos. Partiendo de la produccion 6ptima
que es 279,757 ton/Ha de cafa, y de los precious de N, K y cara que
son respectivamente $7,14/Kg, $5,10/Kg y $600/ton, al variar el pre-
cio del nitr6geno en un 42% (de 7,14 a 10,14), la produccion 6ptima
permanece relativamente constant, como puede observarse en la tabla
antes citada; al variar la production en 0,0016 por ciento (de 279,7574
a 279,753) el empleo del insumo varia en 0,10 por ciento ( 220,53 a
220,31 Kg/Ha de N ). 17 .

Esta rigidez puede observarse en el grafico 5 y tabla 8, en donde se
ve la poca respuesta en la produccion debida a pequerias variaciones de
nitr6geno aplicado.

El efecto antes descrito, se comprueba tambi6n a traves de las elasti-
cidades de produccion que aparecen en la tabla 8, en la cual al variar
en 1% la utilizaci6n de los insumos, la produccion 6ptima solo variara
en 0,00142 y 0,0075 por ciento debida a la aplicacion de potasio y ni-
tr6geno respectivamente.




16/ Cultivo tecnificado: significa control de malezas, no desguie (cor-
te por parejo), no deshoje y fertilizacion.

17/ Al incrementarse el precio del insumo tiene que disminuirse su utili-
zacion. Lo contrario ocurre al incrementarse el precio del product.
Si PXit---Xi -j-PMgXift-*+ydejando constant elprecio del potasio y
del product.







Tabla 7.


Variaci6n de la produccion 6ptima, las cantidades de insumos aplicados y la ganancia
al variar tanto el precio de los insumos como el del product.


Y N K Py PN PK ganancia
Ton/Ha Kg/Ha Kg/Ha $/ton $/Kg PN/Py $/Kg PK/Py para
Cafla cafa cafia/Ha
----------------------------- ------------------------------------


279,757

279,756

279,753

279,7577

279,53


279,7574


279,7559


220,46

220,39


220,31

220,63

220,53


220,53


220,35


124,38

124,38


124,38

124,62

124,10


124,38


124,55


600

600


600

720

600


600


750


8,14

9,14

10,14

7,14

7,14


7,14


12,21


0,013566

0,015233


0,0169

0,009916

0,0119


0,0119


0,01628


5,10

5,10

5,10

5,10

6,10


5,10


5,65


0,0085

0,0085


0,0085

0, 0071

0,01016


0,0085


0,00753


16.542

16.517

13.917

17,932

14.440


14..577


17.588


* Se consider una relaci6n cafia / panela de 10:1.









GRA FI C0


RIGIDEZ EN LA RESPUESTA DE LA

PRODUCTION DEBIDO A CAMBIOS
EN EL NITROGEN 0 .


2 2 0. 80 0.0 0 8 43 2 6
2 2 090 0.0 061 44 8

PMG. 2 I. 00 0.0 038 5
2 2 I. 0 0.0 0 I 5 6 2 9
2 2 1. 1 7 0. 0 00 0 4 267
121. 662.59








109.3559




80.71959


















.79859
















0. 38 55


0 50 100 150 20 0 221 221.17
N /


FUENTE MODELO SELECCIONADO


N PMG PMG x 00

S-3 4 7 3 41 3.47 3 41

5 0 0.8 0 7 I 9 5 9 8 0.7 I 9 5 9
1 00 1.21 662 5 9 1 21.6625 9
I I 3.444 1.23 5 8 7 5 6 8 1 2 3.5 8 8
I 5 0 1.0 9 3 5 9 1 0 9.3 5 9
2 0 0 0.4 37 9 8 5 9 43.7 9 859

2 20 0.026 5 7 9 2.6 6 579
22 0.53 0.014598 8 1.4 89
2 2 0.60 0. 0 1 3 00 1 7 1.3 0 01 72


0.8 4 3262
06 I 4487
0.3 5 5
0. 1 5 6 3
0


43


K20=:124






Tabla 8. Products marginales, tasas marginales de sustituci6n y elasticidades de
producci6n para diferentes niveles de nitr6geno y potasio.


---------------------------------------------------------------------------

Produce N K PMgN PMgK Tasa margi- Elasticidades de prod. Rendimientos
(Ton/Ha) (Kg/Ha) (Kg/Ha) (Y/ N) (Y/3K) nal de susti. EK EN a escala
TMS EK EN
NK
----------------------------------------------------------------------------------------

104,73 50 50 0,00771 0,00435 0,5642 0,0021 0,00274 0,00484

--------------------------------------------------------- -------------------------------


172,55 100 100 0,00705 0,000878 0,123 0,00051 0,0041 0,00461

--------------------------------------------------------------- -------------------------

250,86 150 150 0,0044 -0,00058 + 0,132 -0,00035 0,0026 0,00225




279,74 220 124 0,0000953 0,000032 0,336 0,0000142 0,000075 0,0000892

----------------------------------------------------------------------------------------

273,18 200 150 0,0026 -0,000533 0,205 -0,000293 0,001904 0,00161

----------------------------------------------------------------------------------------

266,41 250 150 -0,00282 -0,0005464 1,94 -0,00031 -0,000265 -0,000575



Fuente : M-odelo Seleccionado.
Fuente :Modelo Seleccionado.






- 44 -


Isocuantas.

Por isocuanta se entiende las diferentes combinaciones de N y K nece-
sarias para obtener un mismo nivel de producci6n. Estas isocuantas
pueden definirse matematicamente en el present trabajo como sigue:

(4-6) K = f(N, Y*/Tierra, M.O, y otros).

En la funcion escogida para llevar a cabo el analisis se tiene que:


0.745855 (0.745855)2 (4) (0.0029714) C*
(2) (0.0029714)


Este mismo resultado se puede obtener graficamente a partir de la e-
cuaci6n 4-6 en la cual al dar diferentes valores a N y Y* se obtienen
las diferentes combinaciones para trazar el mapa de isocuantas que
aparece en el grafico 6.

Especfficamente se tomo la isocuanta de 100 toneladas de cana por hec
tarea, cuyas combinaciones de nutrimentos aparecen en la tabla 9, las
cuales indican las cantidades de nitr6geno necesarias para reemplazar
una unidad de potasio, para obtener una producci6n de 100 ton/Ha de
cafia de azujcar. Observando la tabla 9 se nota que a media que se dis
minuyen las cantidades de potasio, (76.6 a 40.12 Kg/Ha) se deben in -
crementar las cantidades de nitrogeno (de 25 a 50 Kg/Ha). Esto puede
verse claramente mediante la tasa marginal de sustitucion (TMSNK), en
donde se nota que al disminuirse las cantidades de potasio es necesario
incrementar cada vez mas el nitr6geno para sustituir una unidad de po-
tasio.

Lineas Limites y Camino de Expansi6n.

Lineas limites son aquellas dos isoclinas 18/ especiales para las cua-
les TMSNK es igual a cero o infinite; como puede deducirse respectiva-
mente de las ecuaciones:



* C = Y* + 0,1347341N 0,0120818N2 + 0,0000355N3 55,831398 en
donde N es elfactor variable y Y* es un nivel dado de producci6n.

18/ Las isoclinas se definen como los lugares geometricos de todas las
combinaciones de N y K que tienen la misma tasa marginal de sustitu
ci6n, o sea que unen puntos de igual curvatura de las isocuantas.
(dK/dN = constante.




ORAFICO N 26 NAPA OZ 150- CUANTAS 'IEN OMD LO SLECCI0KAD0







274





07


~ rrt r






too 270



'too
no7





CL































CIM

















S.0-






skr
tooo


































SI-
moo
















Iito






















.I i 'i.
.No'






- 46 -


dK
(4-7) d 0
dN


(4-8) dN = 0
dK


En este trabajo se definen matematicamente en la forma siguiente:


(4-9) TMSNK PMg 0
PMgN

La pendiente de las isocuantas se mide por medio de la tasa marginal
de sustituci6n (en el present caso TMSNK), la cual denota la cantidad
de potasio que puede ser reemplazada por nitr6geno para mantener un
mismo nivel de produccion. Matematicamente puede derivarse a partir
de la ecuaci6n (4-6) o sea :

dK Z 1_/ (-0,1347341 + 0,0241636N 0,0001065 N2) (4) (0,0029714)
dN (2) (2) (0.00241636)

Reduciendo la expresion anterior se tiene:

(4- dK 0.1347341 + 0.0241636 N 0.0001065N2
dN 0.745855 0.0059428K

Aplicando la formula (4-10) para un nivel de produccion de 100 tonela-
das de cafa de azucar se obtienen los resultados que aparecen en la
tabla 9.

Las lfneas lfmites estan representadas por la siguiente formula:


(4-11) TMSNK -- 0,1347341 + 0,0241636N- 0,0001065 N2
0.745855 0.0059428 K





19 Z = J(0,745855)2- (Y*+0,1347341N-0,0120818N2 + 0,0000355N3-
I 55,831398) (4)(0,00302)11/2














Tabla 9. Diferentes combinaciones de N y K para producer 100
toneladas de cafla de azucar y sus tasas marginales de
sustitucion.







N K PMgN PMgK TMSNK (Y)




25 76.60 0.4027934 0.290637 0.72155




30 72 0.4943239 0.3179734 0.64325




50 40.12 0.8071959 0.2389006 0.29596


Fuente : Modelo Seleccionado.







- 48 -


El camino de expansion o combinacion de costo minimo se define como
aquella isoclina especial que une puntos en el cual la TMSNK es igual
a la relaci6n de los precious de los insumos correspondientes 20/. Ex-
presado en forma matematica es como sigue :


TMSNK


PN
- es decir,
PK


-0, 1347341 + 0,0241636 N 0, 0001065 N2
0,745855 0,0059428 K


PN
PN


reduciendo esta formula se tiene la siguiente funci6n:


(0, 0001065 PN)N2 (0,0241636 PN)N 0,745855PK (0, 0059428 PK) K -

(0, 1347341 PN) = 0


a partir de la cual se puede obtener las cantidades de nitr6geno (de -
pendientes de las cantidades aplicadas de potasio).




N = 0,0241636N + (0, 0241636)2-(4) (0, 0001065)(0, 745855PK-0, 0059428PK-
(2) (0, 0001065 PN)


0,1347341 PN)


20/ Los precious de los insumos permanecen constantes a lo largo de
todo el camino de expansion.












BIBLIOGRAFIA


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in corn fertilization for experiments with two and three variable
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tivos y pecuarios. Ed. del Pacffico S.A. Santiago -Chile. 126 p.

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el Municipio de Frontino (Antioquia) Tesis. Universidad Nacional
Facultad de Agronomia e Instituto Forestal, Medellin, 120 p.







- 51 -


Este apendice contiene la sistematizaci6n de los datos para que el com-
putador configure por regresi6n multiple (mediante el program REM 1),
los diferentes models pedidos por el investigator, quien hara la selec-
ci6n final de la ecuacion que represent mejor los resultados del experi
mento. Ademas se da una explicaci6n de algunos criterios estadfsticos
que se usan para seleccionar funciones.

Una vez realizado el analisis grafico para observer el comportamiento
de insumos variables involucrados en el process productive (en este ma
nual serfan N y K) el investigator debe estructurar las diferentes fun -
clones que a su juicio (16gica a priori), el computador debe configurar.
En el caso de este manual fueron las siguientes: (teniendo en cuenta el
comportamiento cuadratico del K y cubico delN).


Y1 = a + blN + b2K + b3N2 + b4K2

Y2 = Y1 + b5NK

Y3 = Y2 + b6N3

4 = Y2 + b6K3

Y5 = Y1 + b5N3

Y6 = Y1 + b5K3

Y7 = Y5 b6K3

Y8 = a + biN + b2N2 + b3N3

Y9 = a + blK + b2K2

Y10= Y9 + b3K3

Y11 = a + biN + b2N2

Y12 = Y6 + b7N3 + b8NK


El sistema que el computador emplea para configurar las diferentes
ecuaciones es el modelo lineal general, que consiste en:


Y = a + blX1 + b2X2 + .............. bnXn







- 52 -


Las variables que se incluyen en el analisis de regresi6n seran lineales,
las que se dividen en originales y transformadas. Dichas variables son:


No. Variable


Identificaci6n


Variables originales.









Variables transformadas.


NK


El aspect relacionado con la logica de transformacion es parte del pro-
grama REM 1., el cual se emplea para calcular regresiones lineales y
estai ampliamente conocido y probado.

El apendice 2 es un ejemplo de la forma como el computador configura
una function.


SISTEMATIZACION DE LOS DATOS Y PRUEBAS ESTADISTICAS

PARA LA SELECTION DEL MODELO


Sistematizacion de los Datos.

Las variables que aparecen en forma lineal se incluyen como tales en
la codificaci6n; cuando estas variables esten elevadas a una potencia se
le debe ordenar al computador su transformaci6n mediante un c6digo es
special que tiene el program REM 1. Lo mismo sucede cuando es







- 53


necesario encontrar las interacciones entire las variables, teniendo pre-
sente que el c6digo es diferente al mencionado anteriormente.

El codigo 10 se utiliza para elevar una variable a una potencia cualquie
ra; y el 13 es el empleado para encontrar las interacciones lineales en
tre dos variables. Para mas de dos variables se le debe ordenar al com-
putador multiplicar el primer product ( que original una nueva variable),
por la tercera variable inclufda, luego este product obtenido ( que se
transform en una nueva variable ) puede multiplicarse en esta forma su-
cesivamente, hasta la variable n incluida en la interacci6n.


El numero maximo de variables ( originales mas transformadas ) es de
veintidos.


Forma como son suministrados los datos al program de computadores
REM 1:


Para efectuar el suministro de los datos al program REM 1 se proce-
de de la siguiente manera:

La hoja que se anexa formaa para codificaci6n" esta constitumda por 80
columns (80 columns que tiene la tarjeta IBM) y 25 lhneas. Cada lfnea
equivale a una .tarjeta. La primera tarjeta contiene la siguiente informa-
cion :

Primera y segunda column slash 21/, en la 4a., 5a. y 6a. se imprime
la palabra JOB (es la tarjeta de control o monitor); se require una tar-
jeta de estas al principio de cada process.


La segunda tarjeta contiene:

Slash, slash blanco y XEQ, blanco y el nombre del program REM 1.
Cada signo corresponde a una column dentro de la tarjeta (tarjeta de
control monitor que llama a ejecucion el programa. Se require una
tarjeta de estas al principio de cada problema.


21/ Slash = /








- 54 -


Tercera tarjeta. (Tarjeta problema)

Columnas

1 2 Aparece la palabra PR (c6digo de la tarjeta)
3 6 Nombre asignado al trabajo
(Nombre del problema, cuatro caracteres, numerous,
letras y/o blancos que identifican el problema).
7 8 Numero de variables originales o leidas. Si el nu -
mero de variables menor que 10, la column 7 que-
da vacia o con cero, y el numero de variables va
en la column 8. 22/
9 13 Tamano de la muestra o numero de tratamientos del
experiment.
14 15 Nimero de transformaciones (ajustado a la derecha)
16 17 Numero de variables transformadas (ajustado a la
derecha).
18 20 Numero de models o selecciones. (Ajustado a lade
recha).

Cuarta: Tarjetas de transformaciones 23/

No. Columnas

1 2 Aparece la palabra TR
3 4 Numero asignado a la variable resultante de latrans-
formacion (ajustado a la derecha).
5 6 C6digo para indicar la transformaci6n.
7 8 N6mero de variable a ser transformada.
9 14 Numero de la variable operando (variable original o
transformada que va a multiplicar, dividir, sumar
y restar ala variable original o transformada que
aparece en las columns 7 8). En el caso de que
la transformacion sea elevar a una potencia el ulti-
mo digito debe ir en la column 13 y en la column
14 un punto.




22/ Esto se llama ajustar a la derecha.

23/ En cada tarjeta solamente va una transformaci6n 6 sea que el nu-
mero de tarjetas de transformaci6n debe ser igual al numero de
variables transformadas.








- 55 -


CODIGOS EMPLEADOS PARA LAS TRANSFORMACIONES


= X

= LglOX


= exp (X)
= arc sen 4X
= arc sen dJX/n+1' + arc
= 1/X
= X+C
= CX
= Xc
= Xa + Xb
= Xa Xb
Xa Xb
=Xa / Xb


En este codigo Xa
es la constant.


X > 0
X>O
X> 0
X> 0


0 < < 1
sen X +1/n+1
X 0



X > 0




x=o 0


es la primera variable operando, Xb la segunda y C


Quinto: Tarjetas del nombre asignado a las variables incluidas.

Columnas

1 4 Nombre de la primera variable.
5 8 Nombre de la segunda variable.
9 12 Nombre de la tercera variable.


Nombre de la 20a. variable.


TxT+ 1


76- 80








- 56 -


Sexto: Tarjetas de Datos o Tratamientos. 24/

Columnas

1 10 Valor de la primera variable.
11 20 Valor de la segunda variable.





61 70 Valor de la s6ptima variable.


El maximo de datos por tarjeta sera de siete. Si hay m6s de siete va-
riables originales se continuar6 en una segunda tarjeta. Para cada ob -
servaci6n se inicia una nueva tarjeta. Los valores deben llevar punto de
cimal perforado.

S6ptimo: Tarjetas de selection o de funciones.

(Debe haber tantas tarjetas de seleccion como se haya especi-
ficado en las columns 18 a 20 de la tarjeta de problema).
Tienen el siguiehte format:

Columnas

1 2 SL (C6digo de la tarjeta)
3 4 00: No. tabla de residuales
01: Se desea analisis pero no tabla de residuales
02: Tabla de residuales con analisis
5 6 Numero de la variable que se anotara como depen-
diente
7 8 N6mero de variables suprimidas en el modelo.
9 10 Primera variable suprimida
11- 12 Segunda variable suprimida
13- 14 Tercera variable suprimida
15- 16 etc., etc.




24/ En el present manual la variable uno es nitr6geno, la dos potasio y
la tres es la producci6n. Como puede observarse en la hoja de codifi-
caci6n, los datos fueron entrados a partir de la tabla 3. Si se hace en-
trando los datos como en la tabla 2, los coeficientes de la funcion de
producci6n variaran pero no la production estimada.








- 57


Para aclarar el suministro de los datos al computador se incluye la for-
ma de codificaci6n utilizada en el present manual.

Pruebas Estadisticas.

Analisis de Regresion:

Para obtener el modelo de acuerdo al analisis grafico, se realize un ana-
lisis de regresi6n multiple, el cual permit calcular la produccion de ca-
fla en funcion de los nutrients variables, como sigue:


(A-l) Y = f (N, K/P, riego, plagas y enfermedades.... ) + E


en la cual Y es la producci6n, N y K los nutrimentos variables; f6sforo,
riego, plagas y enfermedades son factors que se mantienen fijos y E
represent el efecto de las variables incontrolables.

La funci6n (A-l) se denominaFunci6n de Producci6n.

Estas funciones de producci6n se representan matematicamente de diver-
sas formas, las cuales permiten determinar como varfa la variable de -
pendiente (rendimiento) al producirse una variaci6n en las variables inde-
pendientes. Para el caso de fertilizantes, se determinara c6mo aumenta
o disminuye el.rendimiento al aumentar o disminuir la cantidad aplicada
de fertilizantes.

La existencia de numerosas ecuaciones plantea el problema de tener que
seleccionar aquella que represent mejor la relaci6n funcional bajo de -
terminadas condiciones existentes. Esto implica que es necesario un es
tudio de regresi6n.

En este aparte se discutiran los concepts estadisticos empleados en la
selection de models.

Coeficiente de Determinaci6n:

El coeficiente de determination (R2) es el porcentaje de la variacion to-
tal de la producci6n debido a la acci6n de los factors variables incluf-
dos en el modelo del process productive, el resto del porcentaje se de-
be a variables no incluidas en el modelo (variables ex6genas), falta de
ajuste y error de media. Por lo tanto el rango de R2 varia entire cero
y uno, siendo cero cuando los factors variables no explican nada de la





CENTRO UNIVERSITARIO DE COMPUTACION
MEDELLIN
FORMA PARA CODIFICACION


FECHA
PAGINA DE


NUMERO EXPRESSION IDENTIFICATION
8 7 B T io 1I 20 25 30 35 40 45 50 S5 60 08 70 72 7T o0

717111111,t i _____+___ ___ ___ ___ ___ ____ __ T hiT


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CENTRO UNIVERSITARIO DE COMPUTACION
MEDELLIN
FORMA PARA CODIFICACJON


FECHA


PAGINA OD
NUMERO i I EXPRESSION IDENTIFICATION
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110 0 .088. 6 Wf 1 iit
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TooZY-L --0^- ---43 7 1-J -- --L- gi--+ ---------- ----I-T
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/Sid o a., I,

LOIlzo, 5iz O '0S I 2I 5: _. -7





SoL2O0 z oS o z o6___ 0.7, io,_2-( 1 -- --

sL o i"o o ozo o g I- '-
. 3.1O6 1 41 .LT4,

SJL oZo1'o 2B I 1 oT Hi ,!iKT
_ i E3 i +4-
LiO1zo 3 o!5J,0o o 4!0' I I

5LZ.O Z! 0410 Oo4 i i of,. I z-- L
^ L IZ ,i o o .5 .o iZ 0 ,5 0 6 0 (. 7 1)_ _.. ._ __.. _. L. _. ; L._. ..'. ---. -L -- ... .- -







- 60 -


producci6n y uno cuando la produccion se debe en su totalidad a los fac-
tores variables incluidos en el modelo.

El modelo a seleccionar sera aquel que tenga un R2 mis alto.

Este coeficiente explica la proporci6n de varianza de la regresi6n total
debida a los factors involucrados en la produccion. Y se expresa como:

n n n


SCT Yi2 Y 2
i=l


i = 1, 2 ................ n; j = 1, 2 ..................... n
n n
en la cual bj > XjYi se define como la suma de cuadrados de regre-
si6n con respect a sus medias y XYi2 es la suma total de cuadrados
con respect a su media. Esta ultima, esta dividida en la suma total de
cuadrados debida a la regresion mas la suma de cuadrados debida al e -
rror, s decir,

n n n
(A-3) Yi2 + : ei2



^2
i=l j=l i=l


En la ecuacion (A-3) Z Y2 se denomina como la suma de cuadrados ex
plicada por la regresi6n y eei2 es la suma no explicada o error. En es
te rltimo estan contenidos todos aquellos factors exogenos al model.

Para seleccionar una funci6n se escogera aquella que tenga un mayor R2
tal como se dijo anteriormente. Sin embargo. segin algunos autores cuan
do este coeficiente es muy alto puede haber probabilidad de existir corre
lacion entire las variables. Este solo criterio no es suficiente para se -
leccionar un modelo.

Pero,
n n n
2 = >; Yi2 ei
j 1 i= i=l







- 61 -


2 > Yi2 ei2 ei2
> Yi2 : Yi2

En esta ultima formula se puede ver que cuando no hay error, el R2 es
igual a uno. En la vida real, no es possible incluir todos los factors
que influyen en la variaci6n de la produccion.

Partiendo de la formula (A-2) bj :XijYi es la simplificacion de la siguien
te bj( n XijYi > Xij Y Yi); que se define como la suma de cuadrados de
regresion con respect a sus medias. En el present manual y para el mo-
delo seleccionado bj varfa de 1 a 5, siendo bi el coeficiente de N(-0.134
7341); b2 el de K(0,745855); b3 el coeficiente de N2(0,0120818); B4 el coe-
ficiente de K2 (0.0029714); b5 el coeficiente de N3(0,0000355), y Xj repre-
senta las variables incluidas en el modelo seleccionado en donde j varfa
de 1 a 5; o sea que:

X1 = N ; X2 = K; X3 = N2; X4 = K2 ; X5 = N3 25

Significancia de los coeficientes dentro del modelo.

Otro criterio estadistico empleado en la seleccion de funciones es la sig-
nificancia de los coeficientes.




25/ Recuerdese que las aplicaciones del nitr6geno fueron 0-50-100-150-
200 y 250, o sea que Z XijYi es la suma de los siguientes elemen-
tos :


N K1 Yi NY (Xij Yi)
Xj xj= _

0 0 75,23 0.00
50 0 87,00 4.350.00
100 0 110,31 11.031.00
150 0 160,35 24.052.50
200 0 221,32 44.264.00
250 0 235,40 58.850.00


Este mismo process se debe cumplir variando el potasio en 50-100
y 150 kg/Ha.

i: Recorrido de los diferentes valores que toman las variables, en
el present manual i varia de 1 a 24.








- 62 -


Para explicar la significancia de los coeficientes dentro del modelo se-
leccionado en este manual no se realizaran discusiones matematicas so-
bre la distribucion de los parametros (bj, donde j = 1, 2, 3, 4, 5) pues-
to que el fin de esta exposici6n es solo mostrar el character practice de
la utilizacion de la estadistica en la seleccion de models de respuesta.
El interesado podra profundizar en las caracterfsticas de los estimado-
res minimocuadraticos y ademas en las inferencias acerca de los coefi-
cientes de regresion.


Para verificar la significancia de los coeficientes dentro de una ecua -
ci6n, se realizan las siguientes hip6tesis:


1. bj : tiene una distribucion normal con media cero y varianza finita

2bj (j = 1, 2, 3, 4, 5) (0,1).


2. Es necesario tambien que la varianza de los errors sea la misma,
es decir, que exista homocedasticidad ( o u12 = ou22 =....

aun2 ).



3. Que los errors se distribuyan normalmente con media cero y va-
rianza constant y finita.


O sea,


Ei N (0, a u2)


4. Que la media esperada de los errors sea cero, es decir:


E(Ei) = 0


5. Que la covarianza entire los errors sea cero, tal que,








- 63 -


Cov (Ei Ej) = 0 26/ i = j
i 1,2, ... n
j 1,2, ... n


Una vez realizada la hip6tesis anterior, se puede entrar a probar o ve-
rificar las hip6tesis sobre los parametros incluidos dentro del modelo
( b, variando j de 1 -5 ) y para calcular las estimaciones por interva-
los se necesita otro dato mas. Tal que :
A ^ 2 1 A A 2i)
n o u2/ .2u siendo, o u = -- (Yi a- bj X2 2


A2 2
Donde a u es la varianza estimada de los errors y 2 u la varianza de
los errors de la poblaci6n.

La expression nou2/o u sigue una distribucion X2 (Chi cuadrado) con

n j 1 grades de libertad

De donde por definici6n,
A
B, B
(A-4) tc = j -
SBj




26/ Esta formula es una matriz de varianza que se represent como:

el2
e 2 ele2 ele3 ............ ejen

e' e = e2el e22 e2e3 ............ e2en

enel ene2 ene3 ............ en2


En donde la diagonal principal (el2, e22 ......... en2) son las va-
rianzas de los errors, los demais elements de la matriz corres -
ponden a las covarianzas de los errors, los cuales deben ser cero
para que no exista autocorrelacion dentro del modelo.

27_/ es el intercepto de la funci6n.

* Vease Hoel, R.C. 1954. Introduccion a la estadfstica matematica. p.p.
216- 217.








- 64 -


Siendo Bj el estimador insesgado 6ptimo del verdadero parametro de la
poblaci6n, y Bo el verdadero parametro de la poblaci6n *.

La formula (A-4) tiene una distribuci6n t de student con n j 1 grades
de libertad (j es el numero de parametros, Bj, incluldos dentro del mo
delo).

Para verificar las hip6tesis de las Bj se procede de la siguiente mane -
ra:

A
Ho (Hip6tesis nula) : Bj = Bo = 0
A
Ha (Hipotesis alterna): Bj = Bo j 0


Para probar si Bj = Bo = 0, se tiene que sustituir Bj en la expression
(A-4) y ver si el valor resultante de t calculada cae dentro de una ade-
cuada region critica determinada mediante la distribuci6n t con n-j- 1
grades de libertad. Para verificar las hip6tesis de los Bj a un nivel
de confianza de 95 por ciento se tiene : (n j I grades de libertad que
en el caso del studio eran n = 24 y j = 5; t 0,95, 18GL = 2,10) 28/ que:


si tc > tO, 95 se rechaza Ho, es decir, el parametro es significativo a
un nivel de confianza del 95 por ciento, por tanto se incluye dentro del
modelo.


Si tc < to, 95 el parametro no es significativo a ese nivel de confianza,
por tanto, es necesario removerlo de la ecuaci6n. Sin embargo, no siem
pre se emplean niveles de significancia como el anterior, debido que es
possible que la respuesta de uno de los factors en el caso present el N
en forma lineal (ver Capftulo III) da la mayor proporci6n de varianza o
sea, 0,84786, a pesar de que no es significativo dentro de la ecuacion a
un nivel del 95 por ciento.




** Vease, Johnston, 1970. Metodos de econometria- Vicens Vives, Bar-
celona. pp. 108-121.


28/ V6ase el Apendice 3.







- 65 -


En las hojas de listado suministradas por el computador aparecen los

datos de los Bj, Sg el error tipico y la t calculada (vease anexo 2).
Por tanto, solo sera necesario verificar estos valores con el valor de
la tabla de t 29/ al nivel de confianza que lo estime el investigator.

Si se selecciona un valor de t al 95 por ciento de confianza ( con 18
grades de libertad), se tendra en forma grafica lo siguiente:
























El area rayada es la region de rechazo, es decir si el valor de t cal-
culada es mayor en valor absolute que 2,101 se rechazara la hip6tesis
nula, estawrueba es de dos colas debido a que se plantea en la hip -
tesis que Bj = 0, es decir, puede ser mayor o menor que cero. La
region no rayada es la zona de aceptaci6n, si el valor de la t calcula-
da cae en el rango de esta region el coeficiente se remueve de la ecua
ci6n por no ser significativo a este nivel de confianza, o en otras pala
bras, no difiere del parametro hipotetico de la poblaci6n Bo. Dentro de
los limites A A' estadfsticamente el significado es que, si se calcula,


29/ La tabla de distribucion de t aparece en el apendice 3.






- 66 -


A
por ejemplo, un intervalo de confianza para Bj del 95 por ciento,
^+ A
(Bj tO. 95 Sbj ) se esta afirmando que se tomaran muestras de ta-
maflo n, el 95 % de esos intervals incluirfan el verdadero valor del
Bo.

Analisis de Varianza.

Se habia supuesto que: 30/

A
(B Bj)/J es ^ N(0,1)
Su/ 2 Xij

Si la expresion anterior se eleva al cuadrado se obtiene

A
(A-5) (Bj Bj)2/J
o u2 / Z X2ij


La cual tiene una distribucion chi cuadrado con J grades de libertad.
A
Estadisticamente se puede demostrar que u2 es un estimador inses
gado de a u2. Pero,

A^ 2 2 eij2
(A-6) u2 = ej
n-j- 1


en donde n es el numero de observaciones del experiment.

Si se reemplaza en la expresion (A-5) o u2 por su estimador insesga
do u2 se obtendr :

A 2A
(Bj Bj ) 2 2 2
(A-7) J (Bj Bj 2 / J z Xij
Seij2 ej2 n -j 1
n j -1
SXi 2


30/ Esto puede demostrarse en forma matematica.







- 67


La expresi6n (A-7) sigue una distribucion F con J y n- J- I grades de
libertad. En la que (Bj- Bj)2 ZXij2 es la suma de cuadrados de re -
gresion. Al dividir esta expresion anterior por los grades de libertad
(J) se encuentra el cuadrado medio de la regresion y I eij2 es la
suma de cuadrados de los errors que al dividirlos por sus grades de
libertad (n J 1) se halla el cuadrado medio del ,rror.


Todo lo anterior aparece resumido en
za.

Tabla (A-l). Anilisis de Varianza.


un cuadro de analisis de varian


Fuente de Variaci6n. Suma de Grados de Cuadrado F.
Cuadrados libertad medio Calculada


SBj2 Xi2 Bj2 Xi2
Debida a la regresi6n y2-=Bj2 Xij2 B Xij2 Bj2Z Xij



i2 0ij
Debida al error eij2 n J 1 zej2 -e 2
n- J- n-J 1



OTAL 2 n-12
TOTAL : LYi n 1


La significancia de todos los coeficientes dentro del modelo (Bj, J = 1,
2, 3, 4, 5), puede verificarse a traves de un analisis de varianza, el
cual consiste en la relacion de la varianza de la regresion (Varianza
explicada) con relacion a la varianza de los errors (varianza no ex -
plicada). Esta relacion estadisticamente debe distribuirse como una F.

Esta distribucion de F aparece en una tabla que se conoce con el nom-
bre de F, la cual se encuentra en el ap6ndice 3.

La prueba de F muestra que todos los factors variables incluidos en







- 68 -


el modelo pueden ser o no la causa de los resultados obtenidos a un
cierto nivel de confianza seleccionado por el investigator. En el ma-
nual del cual este apendice hace parte, la F significa que el nitr6ge-
no y el potasio con sus efectos lineales cuadratico y cubico para el
primero y lineal y cuadratico para el segundo son la causa del incre
mento de la producci6n (ver el analisis de varianza del capitulo III).

Las hip6tesis se las plantea el investigator desde el moment en que
planifica el experiment y al final del mismo en las dos siguientes
preguntas :

Ho (Hip6tesis nula) : todas las variables incluidas en el modelo no son
la causa del resultado experimental.

Ho: Bj = B1 = B2 = B3 = B4 = B5 = 0 31/


Ha (Hip6tesis alterna): todas las variables incluidas en el modelo son
la causa del resultado experimental.
A
Ha: Bj = 0

Para verificar las hip6tesis anteriores se compare la F calculada
(que aparece en los calculos realizados por el computador-ver apen-
dice 2) con J y n J 1 grades de libertad, y la F. de la tabla a un
nivel de confianza seleccionado por el investigator.

Si se selecciona un nivel de confianza del -95 por ciento y F calcula-
da > F tabla 0.05 (J, n-J-1) 229/.



31/ Como los factors incluidos en el modelo no tienen ningun efecto
en la producci6n, o sea, que no son causa de ella (no hay relacidn
entire los factors variables y la producci6n), sus coeficientes son
nulos, o sea cero; por lo tanto, la production debida a ellos sera
cero, es decir, que la produccion media debida a esos factors
tambien tiene que ser cero, ello no quiere decir que no haya pro-
ducci6n sino que la produccion obtenida se debe a otros factors
aleatorios o no incluidos en el modelo.

En el caso de que el investigator, de acuerdo con su conocimiento
a priori, desee detectar la significancia de un coeficiente en part
cular debe utilizar la prueba de t.

29/ J grades de libertad para el numerador y n-J 1 para el denomi-
nador.







- 69 -


Se rechaza la hip6tesis nula, o sea que las variables inclufdas en el
modelo son la causa de la producci6n a un nivel de confianza del 95
por ciento.

Si:


F calculada <


F tabla 0.05 ( J, n J 1)


Se acepta la hip6tesis nula, o sea que las variables incluidas no tie-
nen ninguna relaci6n con la produccion, a un nivel de significancia
del 95 por ciento.


En el caso de la fertilizaci6n de la cana de azicar para panela con
nitr6geno y potasio se tiene:

F calculada (5, 18) GL = 111,48052

F tabla 0.05 ( 5,18)GL = 2.77



F > Ft


Por lo cual, se acepta la hip6tesis alterna, o sea que el N y K son
la causa del incremento en la production de cafia de azucar para pa
nela.




























APENDICE 2.







CONFIGURACION DEL MODELO SELECCIONADO











FUENTE DE VARIACION


G.L.


DEBIDO A LA REGRESSION ..........
DESViACION DE LA REGRESION ....
TOTAL ....


SU MA DE
CUADRADOS
0.1181625E 05
0.3902234E 04
0.1220648E 06


CUADRADOS
MEDIOS
0.2363251E (
C.2167908E (


VALOR
F
0.109010E


INTERCEPT


VARIABLE
NO. NOMB.
1 N
2 K
6 N** 3
4 N*: 2
5 K-: 2
DEPENDIENTE
3 PROD


MEDIA DESVIACION
TIPICA
125.0000154 87.2278444
75.0000154 57.1040268

22015.6580145 22713.3352909
8750.0019760 8938.1914329


179.04364


55.8313980

COEF.
REG.
-0.1347341
0.7458550
-0.0000355
0.0120318
-0.C029714


ERROR TIPICO
COEF. REG.
0.2803056
0.1881751
0.0000073
0. 0273860
0.0012022


VALOR T
CALCULADO
-0.4806689
3.9635225
-4.8617611
4.3365287
-2.4716906


COEF. CORR.
PARCIAL
-0.1125998
0. 532 944
-0.7534645
0.7148253
-0.5037260


72.85029


COEFICIENTE FINAL (CHEQUEO) .....


INCREMENTS PARA VARIABLES INDEPENDIENTES ':'


REGRESIONES AC'UMULATIVAS


VARIABLE
NO. NOMD.


N*
N**
K


SUMAS DE
CUADRADOS
0.1034941E 06
0.6739239E 04
0.2525939E 04
0.4076629E 04
0.1326643E 04


PROP.
VAR.
0.84786
0.05521
0.02069
0.03339
0.01086


VALOR F
CADA TERM.
122.60575
11.96169
5.42891
14.81312
6.11946


ERROR TIPICO
DE ESTIMACION
29.05377
23.73610
21.57025
16.58932
14.72387


SUMAS DE
CUADRADOS
0.1034941E 06
0.1102333E 03
0.1127593E 06
0.11S8359E 06
0.1131623E 06


PROP. VAR.
NR k**2
0.84786
0. 0307
0.92376
0.35716
0.95303


VALOR CORRELACIO'
F MULTIPLE
!2.60575 0.92079


97.82833
80.78328
106.13577
109.01069


0.95030
0.96112
0. 9734
0.08383


-0.00297


12






























APENDICE 3.



TABLAS DE F Y T





TABLA DE F.


GRADOS DE LIBERTAD


Primera linea: 5%


Segunda linea: 1%

Numerador
Denom.
1 2 3 -4 5 6 7 8 9 10


216
5,403


19,16
99,17

9,28
29,71

6,59
16,69


225
5,625


19,25
99,25

9,12
28,71

.6,39
15,98


230
5,76


19,30
99,30

9,01
28,24

6,26
15,52


161
4,052


18,51
98,49

10,13
34,12

7,71
21,20


6,61
16,26

5,99
13,74


5,59
12,25


200
4,999


19,00
99,00

9,55
30,82

6,94
18,00


5,79
13,27

5,14
10,92


4,53
9,15


4,35 4,12
8,45 7,85


4,39
8,75


3,97
7,46


5,41 5,19 5,05
12,06 11,39 10,97


4,76
9,78


4,74
9,55


234
5,86


19,3
99,33

8,94
27,91

6,16
15,21


4,95
10,67

4,28
8,47


3,87
7,19


237
5,93


19,4
99,34

8,88
27,67

6,09
14,98


4,88
10,45

4,21
8,26


3,79
7,00


239
5,98


19,4
99,36

8,84
27,49

6,04
14,8


4,82
10,27

4,15
8,10


3,73
6,84


241
6,02


19,4
99,38

8,81
27,34

6,0
14,66


4,78
10,15

4,10
7,98


3,68
6,71


242
6,056


19,4
99,40

8,78
27,23

5,96
14,54


4,74
10,05

4,06
7,87


3,63
6,62






TABLA DE F. (Continuaci6n)


Primera lInea: 5%
Segunda linea: 1%


Numerador
Denom.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


3,84 3,69
7,01 6,63


3,48
5,64

3,26
5,41


3,11
5,03


3,33
5,39

3,11
5,06


2,96
4,69


3,58
6,37

3,22
5,21

3,00
4,82


2,85
4,46


5,32
11,26

4,96
10,04

4,75
9,33


4,60
8,86


4,49
8,53

4,41
8,28

4,35
8,10


3,50
6,19

3,14
5,06

2,92
4,65


2,77
4,28


2,66
4,03

2,58
3,85

2,52
3,71


3,44
6,03

3,07
4,95

2,85
4,50


2,70
4,14


2,59
3,89

2,51
3,71

2,45
3,56


3,39
5,91

3,02
4,85

2,80
4,39


2,65
4,03


2,54
3,78


3,34
5,82

2,97



2,76
4,30


2,60
3,94


2,49
3,69


4,46
8,65

4,10
7,56

3,88
6,93


3,74
6,51


3,63
6,23

3,55
6,01

3,49
5,85


4,07
7,59

3,71
6,55

3,49
5,95


3,34
5,56


3,24
5,29

3,16
5,09

3,10
4,94


2,35
3,37


3,01 2,85 2,74
4,77 4,44 4,20

2,93 2,77 2,66
4,58 4,25 4,01

2,87 2,71 2,60
4,43 4,10 3,87


2,46 2,41
3,60 3,51


2,40
3,45


.











VALO(ES DE LA t


I'robabilidad do un valor mi~s alto dc t. Signos ignorados


0.05


0.02


1.000
.816
.765
.741
.727

.718
.711
.706
.703
.700
.697
.695
.694
.692
.691

.690
.689
.688
.688
.687

.686
.686
.685
.685
.684

.684
.684
.683
.683
.683


1.376
1.061
.978
.941
.920

.906
.896
.889
.883
.879
.876
.873
.870
.868
.866

.865
.863
.862
.861
.860

.859
.859
.858
.857
.856

.856
.855
.855
.854
.854


1. 963
1.386
1.250
1.1 90
1.156

1.134
1.119
1.108
1.100
1.093
1.088
1.083
1.079
1.076
1.074

1.071
1.069
1.067
1.066
1.064

1.063
1.0G1
1.060
1.059
1.058

1.058
1.057
1.056
1.055
1.055


.67449 .84162 1.03643


3.078
1.886
1.638
1.533
1.476

1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.363
1. 356
1.350
1.345
1.341

1.337
1.333
1.330
1.328
1.325

1.323
1.321
1.319
1.318
1.316

1.315
1.314
1.313
1.311
1.310


6.314
2.920
2.353
2.132
2.015

1.943
1.895
1.860
1. 833
1.812
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753

1.746
1.740
1.734
1.729
1.725

1.721
1.717
-1.714
1.711
1.708

1.706
1.703
1.701
1.699
1.697


12.706
4.303
3.'182
2.776
2.571

2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131

2.120
2.110
2.101
2.093
2.086

2.080
2.074
2.069
2.064
2.060

2.056
2.052
2.048
2.045
2.042

2.030
2.021
2.014
2.008
2.000


1.994
1.990
1.987
1.984
1.979

1.976
1.972
1.968
1.966
1.965
1.962
1.28155 1.64485 1.95996


Part del cuadro IV de "Statistical Methods for lResearch Workers", con la autoriza-
ci6n dcl author, R.A. Fisher, y de sus editors, Oliver and Boyd, Edimburgo.


G. de L.


0.01


31.821
6.965
4.541
3.747
3.365

3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602

2.583
2.567
2.552
2.539
2.528

2.518
2.508
2.500
2.492
2.485

2.479
2.473
2.467
2.462
2.457


3.32634


63.657
9.025
5.841
4.604
4.032

3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947

2.921
2.898
2.878
2.861
2.845

2.831
2.819
2.807
2.797
2.787

2.779
2.771
2.763
2.756
2.750

2.724
2.704
2.690
2.678
2.660

2.648
2.638
2,632
2.626
2.616

2.609
2.601
2.592
2.588
2.586
2.581
2.57582


150
200
300
400
500
1.000
cc


------------









INDICE DE MATERIALS



A PLg.

Analisis de datos y selecci6n de funciones ............. 24

Anilisis de los resultados............................ 24

Analisis graficos........... ....... .......... ...... 26

Analisis econ6mico del experiment basado en el mode -
lo seleccionado ............ ..... ....... ... ....... ..... 37

Analisis de variancia................. .......... .. ..... 35

B

Bondad de ajuste y otros criterios estadisticos......... 20

C

Camino de expansi6n................................. 44

Coeficiente de Determinacion.......................... 33

Condiciones Optimas de operacion....................... 8

Cobb-Douglas (Funcion). ............................. 17

Criterios de selection de funciones.................... 19

Cuadratica (funci6n).................................... 18

Cubicas (Funciones)................... ............... 19

D

Descripcion del experimento........................... 22

Dosis 6ptimas que deben aplicarse de los nutrimentos.. 37






- 77 -


P6g.


Eficiencia de la respuesta.............................

Estimaci6n de rendimientos...........................


F


Factores variables, fijos y sin importancia ............

Funciones de respuesta........................... ...

Funciones mas empleadas en el process de respuesta..


G


Ganancias de product y perdidas de insumos..........


I


Isoclinas .. ................................... .......

Isocuantas ...........................................


L


Lineas Ifm ites.......................................

L6gica a priori ......................................

L6gica a posteriori ...................................


M

Mitscherlich (Funcion )...............................








- 78 -


0 Pag.


Observaci6n grafica .................................... 20


P

Proposito del analisis de respuesta.................... 7

Pruebas estadfsticas (t, F)............................. 33


R

Raiz cuadrada (Funci6n)................................. 18

Relaciones mas importantes en superficies de respuesta 2

Rendimientos: Crecientes, decrecientes y decrecientes a
escala................................................. 6


S



Selecci6n de la funci6n................................. 31

Significancia de los coeficientes ......................... 35

Sistematizacion de los datos ........................... 51

Spilman (Funci6n)...................................... 16


T


Tasa marginal de sustituci6n........................... 5

Tablas (F y T)........................................ 71












INDICE DE TABLAS



Tabla No. Pag.


1. Rendimiento promedio en Ton/Ha de la cafa de azucar
para panela en un ensayo de fertilizacion en Frontino-
Antioquia. 1967 ....................................... 25

2. Efecto en la produccion de cafia para panela, de la apli
cacion de diferentes dosis de potasio con cantidades
constantes de nitr6geno............................... 27

3. Efecto en la producci6n de canfa para panela, de la apli
caci6n de diferentes dosis de nitr6geno para cantidades
constantes de potasio ................................. 28

4. Funciones de respuesta de cafa de azucar para panela
en un experiment de fertilizaci6n en Frontino-Antioquia.
1977................................................. 34

5. Analisis de varianza del modelo seleccionado. 1977.... 36

6. Rendimiento estimado promedio de cafa de azucar de
acuerdo al modelo seleccionado........................ 38

7. Variacion de la producci6n 6ptima, las cantidades de in-
sumos aplicados y la ganancia al variar tanto el precio
de los insumos como el del producto................. .. 41

8. Products marginales, tasas marginales de sustitucion y
elasticidades de producci6n para diferentes niveles de ni-
tr6geno y potasio..................................... 43

9. Diferentes combinaciones de N y K para producer 100 to-
neladas de cafa de azucar y sus tasas marginales de sus
titucion ......... .............................. .... 48













INDICE DE GRAFICOS



Grafico No.


1. Superficie de respuesta para dos factors variables..


2. Mapa de isocuantas para dos factors variables......


3. Efecto en la produccion de cafa para panela, de dife
rentes dosis de potasio para cantidades constantes de
nitr6geno. 1975....................................


4. Efecto de la producci6n de cafa para panela, a la apli
cacion de diferentes dosis de nitrogeno con cantida -
des constantes de potasio...........................


5. Rigidez en la respuesta de la produccion, debido a
cambios en el nitr6geno............................


6. Mapa de isocuantas...............................


P6ap


3


4




30




32



42






Universidad Nacional de Colombia


SEDE DE MEDELLIN
r DESTINATARIO 1
Doctor
DEPENDENCIA
PETER HILDEBRADD D
Institute de Ciencias y Tecnologia Agricola
Edificio el "Cortez" OFICIO No.
Guatemala, C.A.


ECONOMIC
F E C H A
FECHA
Dia Mes


7 IX


Le estamos enviando nuestro trabajo titulado Manual de Economia
de la Prdducci6n, el cual, como le hablamos comunicado con an-
terioridad estaba en elaboracion. Es nuestro deseo que e1 con-
tribuya en parte al desarrollo de las labores que usted lleva
a cabo y a la vez le solicitamos todo tipo de comentarios y su-
gerencias.

Atentamente,



HE DO OCHOA T FABIAN RAMIREZ L




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