Citation
Analisis agroeconomicos mediante superficies de respuesta

Material Information

Title:
Analisis agroeconomicos mediante superficies de respuesta
Creator:
Hildebrand, Peter E.
Publisher:
Ministerio de Agricultura y Ganadeiía
Language:
Spanish

Subjects

Subjects / Keywords:
Caribbean ( LCSH )
Farming ( LCSH )
Agriculture ( LCSH )
Farm life ( LCSH )
Spatial Coverage:
Caribbean

Notes

Funding:
Electronic resources created as part of a prototype UF Institutional Repository and Faculty Papers project by the University of Florida.

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Source Institution:
University of Florida
Holding Location:
University of Florida
Rights Management:
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Full Text
C04*0 "If YO
MINISTER MAGRICULTURA Y
DIRECTION, GENERAL'OE ECONOMIC AGWOU, Y PUNIFICACION
DEPARTMENT DE ADMINISTRATION AGRICOLA
Iw ow
ANALYSIS AGROECONOMICOS
MEDIATE SUPERFICIES
DE RESPUESTA
Por:
PETER E. :HILDEBRAND
San Salvador, Septlembre de 1972.




ANALIIS AGROECONOM ICOS MEDI ANTE
SUPERFICIES DE RESPUESTA
Por
Peter E. Hildebrand
San Salvador, El Salvador, C.A. Septienibre, 1972.




P R E F A C 1 0
Este trabajo se prepare especialmente para.servir como manual o gura tanto para estudlantes de investigation como para professionals bajo cuya responsabilidad se desarrollen experiments y an5lisis para los cuales el uso do superficies do respuesta es apropiado.
Con frecuencia se efect'an anglisis de superficies de respuesta en los que, debido a ]a falta de un ana'lisis complete de los datos disponibles, se pierce o subutiliza mucha Informaci6n. Por esa raz'n se ha pesto en el presente trabajo cierto dnfasis en ]a interpretaci6n de los resultados. Asimismo, es frecuente el uso de disehos para superficies de respuesta que requieren demasiados recursos para ]a obtenc16n de buena informac16n. Con el fin de mejorar la eficiencia en la utilizacio'n de esos recursos se present y se discute un diseMo model.
Los ejemplos citados a lo largo del trabajo provtanen de Colombia, donde el autor trabaJ6 4 afios con ]a Misi6n de ]a Universidad de Nebraska como asesor del Instituto Coiomblano Agropecuario (ICA). So expresan agradeclmientos especiales al personal de los Programas Macionales de Suelos y Arroz del ICA, por el permiso de usar los datos, y a Alonso Gallo, Economista Aqr' cola Regional del ICA en Palmira con quien el autor trabaj6 y quien leyo, el
manuscript varies veces durante su preparaci6n e hizo valiosas sugerencias para mejorar su contenido. Tambign se agradece a Rafael Samper(Ex Director del Departam&nto de Economra Agr1r"-1a, ICA), Oscar Gracias (Biometrista




del CENTA en El Salvador), Eduardo Peha, (Jefe del Departamento de Administraci6n Agrrcola de la Direccl6n General de Economi'a Agricola y Planificacio'n del Ministerio de Agricultura y Ganaderia de El Salvador), y a otros quienes hicieron comentarios valiosos. Sin embargo el autor accept toda In responsabilidad sobre su contenido.
El autor actualmente es Asesor del Departamento de Administraclo'n
Agrrcoia de la Direcci6n'Gencral de Economra Agricola y Planificaclo'n del Ministerio de Aaricultura y Ganaderra de El Salvador, mediate el Departamento de Economra de Alimentos y Recursos de ]a Universidad de Florida bajo un contract con USAID, El Salvador.




TABLA DE CONTENIDO
Psgina
I Superficles de Respuesta I
Que Son I
Forms Manifestadas 2
Por Que Calcularlas? 3
Fuentes de Datos 7
fietodos de Calcular las Superficies de Respuesta 7
"A Ojo'l R
Regresl'n Simple 12
Regresio'n Multiple 16
11 Studios Preliminares de los Datos 20
Grafices 20
Sub-Respuestas Sencillas 24
Escogiendo Curvas para Ensayar 25
III AnSlisis de ]as Respuestas 28
Escogiendo la Forma Final de la Curva 28
Valores y Pruebas Estadrsticas 28
Coeficiente de Determinaci6n 30
Varian-za, Error Standard e Intervalo de Confianza. 31
Significance de los Coeficientes 33
Significance de la Ecuacio'n 35
Significance de Terminos Adicionales 36




Informaci6n A Priori y A Posteriori 39
Resume de Calculos Estad'isticos 42
IV Un Ejamplo: Arroz en La Virginia, Risarelda 45
V Conclusions del AnSlisis y Recomendaciones 53
Como Alcanzar Conclusiones Dirigidas Hacia el Productor 53 Como Alcanzar Conclusiones Diriaidas Hacia el Investigador 55 VI Disenos Experimentales para Superficies de Respuesta 58
Factorial Completo 59
Compuesto Rotativo 61
DiseAo Compuesto Rotativo para Un Factor
Variable 62
Disefic Compuesto RotatiVO Dara Dos Factores
Variables 66
Disefio Compuesto Rotativo para Tres Factores
Variables 59
Figures Paginas 71 en
adelante.




TABLAS
P'gina
Tabla I Resultados de un Experimento en Arroz IR-22
en Corinto (Cauca), Colombia
Tabla 2 Datos y Calculos para ]a Regreslo'n de Una
Curva Cuadr'tica 13
Tabla 3 No existed
Tabla 4 Resultados Experimentales en Arroz 22
Tabla 5 Ejemplo de Una Parte de Una Sgbana
de Computadora 45
Tabla 6 An5lisis Economico de Varias Dosis 54
Tabla 7 Disefio Compuesto Rotativo, con un Factor
Variable. 65
Tabla 8 Diseho Compuesto Rotativo para Dos
Factors Variables 68
Tabla 9 Diseho Compuesto Rotativo Para Tres
Factors Variables 70




I S U P E R F I C I E S D E R E S P U E S T A
Q U E S 0 N ?
Una superficle de respuesta es una representaci6n de ]a relacio'n natural entre various niveles de uno o m5s insumos y ]a cantidad de product aue result de la utilizaci6n de dicho insumo. Es decir, que la superficie de respuesta es un estimativo de ]a respuesta de un product a different cantidades de uno mas Ingredlentes ut! I izados en el process de producc16n. La representation puede ser, ftsica, tabular, grifica 6 matemitica.
Una verdadera super icie con tres dimensions (ancho, fondo y altura) result en forma graffica 6nicamente cuando se utilizan dos Insumos para obtener un producto. Asr, ]a superficie puede semejarse a una colina con cantidades de un Insumo(a)medido hacia el norte, el otro insumo (b) hacia el oriented y cantidad
producida se represents por la altura. Cualquier punto en la superficie representa una combinaci6n 6nica de cantidades de insumo A, insumo B y product.
.En el caso ma's sencillo de un solo Insumo, ]a "superficie" gr5fica es una Irnea
recta 6 una curva, y con tres insumos es impossible iragina'rsela y trazarla, por lo tanto solo se puede representer en forma matemStic.
La forma grafica o matemStica de una superficie de respuesta es un estimation artificial de un fen6meno real de ]a naturaleza. Tal superficie puede representar ]a respuesta de un cultivo a] fertilizante 6 de animals a un allmento, etc.




2
Por ser un fen6meno natural y biol6gico, Ia respuesta no es constant para una dosis fija, sino que esta sujeta a una varianza, generalmente a] azar. La superficle gr5fica matemStica represents ]a tendencia central de Ia respuesta real en t6rminos de magnitude (nivel) y de forma curvaturea).
F 0 R M A S M A N I F E S T A D A S
Para facilitar ]a descripci6n de ]as forms de superficies, se usarg el caso de dos dimensions con un insumo y un product. Se representargn las superficies en forma gr5fica y en forma matematica con una ecuaci'n general. En forma matema'tica decimos que rendimiento (Y) es una funs;'n de cantidad del insumo (X) 6 sea Y f M.
La forma mas sencilla pero raras veces ltil es una linea recta, Figura Ia. Generalmente se encuentra una respuesta recta u5nicamente sobre cambios; pequeRos en dosis del insumo.
Quizas Ia forma mas dtil es Ia curva parab'lica cuadra'tica, Figura 1b. Tal curva representative de Ia ley de rendimientos decrecientes puede alcanzar a una cantidad maxima de producci'n y luego mostrar el effect de una baja en producci6n por el uso de dosis altas y t6xicas si este fenomeno se realize. Otra forma similar a Ia anterior es Ia de ra'z cuadrada, Figura 1c. Esta forma tambioin demuestra un m5ximo pero el pico puede ser m5s suave que el de Ia parSbola.




En muchos casos se encuentran datos que represents superficies m5s comply cadas que ]as que se puede, representer con las forms anteriores. Si la respuesta manifiesta todas las tres tapas de producci6n, se necesita una forma como ]a c6bica, Figura Id. La c6bica puede tener una parte que crece a una tasa creciente (etapa 1) otra parte creciente a una tasa decreciente (principalmente etapa 11), y finalmente una parte decreciente en ]a cual la cantidad producida disminuye con aumentos en la cantldad del insumo (etapa 111).
Otra funci6n 'til es ]a logar'timica, Fioura le, Ilamada forma Cobb-Douglas. Esta clase de funci'n no tiene m5ximo y por lo tanto posee utilidad por esta caracterrstica (por ejemplo en herbicides e Insecticidas en donde nunca se ve une disminuc16n en re-ndimiento). Tambign tiene la ventaja de ser ma's fa'cil de calcular que ]as otras forms.
P 0 R Q U E C A L C U L A R L A S
El an5lisis de datos experimentales por superficies de respuesta estS relacionado con el anSlisis de varianza pero es m9s eftciente en ]a descripc16n de las relaciones manifestadas y rinde m5s inforrraci6n de aplicaci6n direct Dara el investigator y el production.
El metodo de cuadrados mrnimos usados para calcular los valores estad'sticos de
)as super icies por rearesi6n se basa en todas las observations y en 6ste sen-




4
tido, es efficient en el uso de Jos datos. Por otro lado, con una funci6n matem5tica, se puede Interpolar y predecir respuestas para dosis no Inciurdas en el diseflo. Hasta un punto tambie'n se puede extrapolar y estimar respuestas con dosis cue caen por fuera del rango do los tratamientos del experiment. Es posible, tambie'n, hallar ]a cantidad del insumo 6 combinations de insumos cue resultarra en la maxima producci6n frsica, igualando a cero ]as primers derivadas de las functions de ]as superficies.
QuIz9s ]a raz6n mis dtil para calcular superficies, de respuesta es la de facilitar el ana'llsis econ6mico. Cuando el investigator tiene la ecuaci6n de una
superficle de respuesta, puede calcular ]as dosis de Insumos mas rentables para el production commercial, para cualquier combinaci6n de preclos de los Insumos y el product.
Para hallar la dosis 6ptima desde el punto de vista econ'mico, se busca la cant1dad del insumo (6 combinaci6n de insumos) cue rinda la mfixima uttlidad para el production. Se utilize U para designer utilidad, ]a cual es la diferencia entre ingreso (1) y costo (C). Para un solo insumo:
I = Y* Py
C = X- Px + CF
U = I C = YPy X-Px CF




5
Don de,
Increso total
Y cantidad del product (generalmente rendimiento por hecta-rea)
y es una funci'n deX : Y = f (X)
Py el preclo del product,
X la cantidad del insumo.
Px el precio del Insumo
CF costo fijo que Incluye todos los dem9s costs no inciurdos
en X, el insumo, que se ha considered.
U utilidad o ganancla neta
En la etapa 11 (la etapa de producci6n racional 6 econ6mIca) la curva de Y es creciente pero a una tasa decreciente y por lo tanto la function de I tundra, ]a misma forma. Costo es una linea recta con un intercept que equivale, a CF. La diferencia entre I y C, utilidad, serg una curva la cual tundra un valor maxima donde la diferencia entre I y C es mayor. Es ]a cantidad de insumo que result en este valor que, se busca, Figura 2. MatemSticamente se tiene lo siguiente:
U = Y- Py X-Px CF
d U d Y P y Px Utilidad marginal
d X d X




-6
Cuando la utilidad marginal equivale a cero, la curva de utilidad, U, se maximniza. Por consiguiente para buscar la cantidad de insumo que rinde ]a maxima utilidad, se busco la relacion donde:
d Y Py Px 0 y d X
d Y Pxd X Py
lo cual indica que para maximizer utilidad se debe igualar ]a derivada de ]a function de ]a superficie de respuesta producto marginal) a la relaci'n del precio del insumo a) precio del product (teniendo cuidado de quo los preclos de los insumos y el product se midan en ]as mismas unidades).
Para dos 6 mas insumos ]a soluclo'n es una extension de ]a anterior:
U = Y.Py X 1*Px 1 x 2'Px 2 -* Xn-Px n CF
donde X1 I x 2 ... X n son los insumos incluTdos como variables en la superficle y las derivadas parciales son:
6 U 6 y Py Px 0
6 x 1 6 x
6 U_ 6 Y Py Px w 0
6 x 2 6 x 2 2
6 U 6 Y
6 x 6 x Py Pxn
n n




7
La soiucio'n simuitgnea de todas ]as derivadas result en la combinaci6n 'nica de los n insumos que maximize ]a utilidad Para el production. Has adelante se dar6n ejemplos del rn-'todo.
F U E N T E S D E D A T 0 S
Datos Para calcular superficies do respuesta se pueden general mediate experimentos c, muestras. Los datos m5s communes son los generados en experiments y por consiguiente son los que se ut;lizargn anur. Existent diseMos experimentales
orientados especialmente al an5lisis por superficie de respuesta Pero otros dlsehos pueden server. Una caracter'stica necesaria del diseFc, es que el nu'rrero de dosis para cada insumo sea mayor que el n6mro de coefIcientes (bl) Para aquel insumo en la ecuact6n. Por ejemplo, una curva cuadr5tica con dos coeficientes (bl y b2) require un m'Inimo de tres dosis Para cada insumo en el dise.fio. Una
caracterrstica deseable es que ]as .osis esti5n distribuNas meto'dicamente sobre ]a superficie que se quiere estimar, aunque no es necesario que est6n distribuidas uniformemente sobre ella.
M E T 0 D 0 S D E C A L C U L A R L A S S U P E R F I C I E S 0 E
P E S P U E S T A.
Hay various m6todos Para calcular superficies de respuesta, el m6s factible, en cada caso, depended de ]a cantidad de insumos, el n6mero de tratamientos y el equipo del cual dispose el investioador.




Cuando el investigator trabaia con un solo Insumo y pocos tratamientosy desea concern r5pidamente una superficie curvil'nea de forma cuadr6tica, el miftodo m6s simple es a ojo ". Con tres dosis, el m'todo es exact pero con un aumento en el n'mero de dosis el m6todo disminuye en precisi6;-,.
En le Tabla 1 se present datos parciales de un experiment de fertilizaci6n.
Tabla 1. Resultados de un experinxento an Arroz IR-22 en Corinto
(Cauca) Colombia.
(Kg!Ha.)
R e n d i m I e n t os
Tratamientos ReDlicaciones P r o m e d I o
M P205 K20 1 11
0 40 4n 5500 5200 5350
150 40 40 7000 -6 3 5 0 6675
300 4o 4o 6950 7ono 6975;
F u e n t e: Programas Macional de Arroz y Suelos ICA.
La cantidad de P 2 0 5 y de K 2 0 se f1ja en 40 Kq/Ha. para cada uno; por lo tanto el nitr6geno es el 6nico insumo cue estA vaHando. El rendimiento de cada replicacio'n y los valores medics estgn colocados en forma gr5fica en ]a Figura 3. El problema es el de estimar una funci6n cuadr5tica de la forma Y= a+bl X+b2 representantiva de estos datos.




9
El mitodo esta' basado en el hecho de que la primer derivada de una funci6n cuadrStica es una Unea recta, (vease la Finura 4). Asociado con un increments en nitr6geno de 0 hasta 150 kilos por hect5rea ( A N I ) hay un increments de 1325 kilos en el rendimiento promedio de arroz ( A Y 1 )1/ La relacio'n A Y A M 1 equivale a ]a oendiente de ]a recta uniendo los valores Promedios de rendimiento para 0 y 150 Kg/Ha. de nitr'geno. TA.mbie'n es la pendiente promedio de la curva donde M = 75. Por lo tanto se puede colocar el valor de A Y A M M3 en la gra'fica inferior de la Figura 4, para N= 75.
En Inual forma se puede caicular ]a pendiente para N = 225, que equivale a 2,00 ( A Y 2 / A M 2 300/150 ) y colocar en la gr5fica inferior.
La recta constru'Ida a] unir los dos valores de A Y / A N es ]a funci6n de la pendiente o primer derivada de la funcl6n cuadrStica nue buscamos, A Y / A M dY/dM cuando M t6lende a cero.
La pendiente de la derivade se calcula como antes: A (A Y/A N) H -6VS3/150
-0 0455.
= p
Sustituyendo valores conocidos para A Y/A N y para M, (A Y/A N P,P13 y N = 75 por ejemplo) se puede resolver para el valor de a el constant de ]a primer derivada, ( a = 8,83 + oo455 (75) = 12,25). Le ecuacio'n de la derivada entonces es: l/ El simbolo A quiere decir "camio en". Por lo tanto, AM 1 ouiere decir "camhio
en M, "' etc.




10
dY AL = 12,25 = 0,0455 M
dIN AN
Se puede integrar una derivada para obtener )a funci6n principal, por lo tanto, f dY
la integral de dY/ 6N es y = i & dm' o sea
Y = 12,25 N 0,0228 N 2 + C
donde Y es rendimiento y C es la censtante de integraci6n. Se sabe que para N
0 el rendimiento promedio es 5350 y por lo tanto se puede ver que C = 5350. Luego la ecuac16n cuadr5tica cue se busca es:
5350 12,25 M 0,0228 f12
La ecuac16n se traza junto con los valores u observations experimentales en la
Flaura 5. Se ve cue la ecuac.6n pasa por cada uno de los valores promedios v por medio de este criteria es U71 buen estimation de ]a respuesta del arroz a] nitr6geno.
A
Como se anot6 anteriormente, se puede poner la derivada He Y igual a cero y resolverla para N y isf' concern ]a canti.ad He nitr6geno cue maximizarra el rendimiento de arroz. En este caso ]a aplicaci6n de 270 kq/ha. de M resultarre en la producc16n maxima por hect5rea de arroz.
De acuerdo con esta superficfe, ]a dosis 6otima o mas rentable, do nitroqeno con 40 Kg. de K 2 0, se halla iqualando la derivada de ]a suoerficle a la relaci6n del precio de M al precio del arroz, teniendo culdado en cue las unidades en que




se miden los precics son las mismas Para IR- 22 el precio es 2.80 por kilo y el precio de M (fuente urt a do 46% N) es L1.40 por kilo l/ Por consiguiente,
d Y 12,25 0.0455 H =- 4,40/ 2,803. y
d N
N = 235
La dosis de N = 235 es ]a cantidad cue maximize la utilidad del production.
Sustituyendo 'os valores de N rm 235 y M= ^470 en ]a funci6n hallamos cue equivale a 691-0 para N = 235 y 6995 para N = 270. Aunque es possible producer casi 7000 kg/ha. de arroz con tine, dosis do 270 40 40, no es rentable aplicar mayor dosis cue ]a de 235 40 40, debido a cue el costo de los 35 Kn/ha.
adicionales de nitro'a no necesarios parn rendimiento do 6995 cuesta m5s
que el valor del numento en el product (el costo marginal del insumo es mayor
que el valor del product marginal).
Es possible usar el m6todo a ojo para calcular superficies de respuesta para m6s de tres valores del ktsumo, pero el resulzado es menos precise. En este caso es necesario trazar una curva a ojo cue aproxime una cuadr5tica que parezca
ser representative de los dauos. Usando tres punts de la curva se puede hacer el mismo, c5lctilo hecho arriba. S; ]a curva que result no es satisfactory, se Duede empe3ar de nuovo con otra curva trazada a ojo ". Obviamente este m6todo esta' sujeto a error human y los prejuicics del investigator. Pero con nractica
es In-rar resultados aceetables. 2)
=1E i s i n o. 'e s pa ra pe z- os co I omb i an o s .
2 ) Para el investigator que quiere una utoridad para transformer sus datos en
esta forma, ver Karl Fox, Intermediate Economic Statistics, John Wiley and
Sons, Inc. New YorkV 19785. 102.




12
Regrets ion S imple
Con una calculadora de escritorio, es possible hacer los c'lculos requeridos para obtener una superficie de respuesta curviirnea para un insumo con un minimo de dificultades. Con dos o m5s insumos se complica el process hacie'ndose ventajoso, sino necesarlo, el uso de un computador electronic.
Por esta raz6n aqur se present 1nicamente el c5lculo de una curva para un solo insumo. Para tener una comparaci'n con el me'todo "a ojo" usaremos los mismos datos presented en la Tabla 1.
Para facilitar los calculus de ]a regres16n hay que tabular los datos en una forma different a la de ]a Tabla 1. Adem9s, para evitar n6memsdemasiado grades en Jos c5lculos, es mejor codificar los datos. La codificac16n ma's apta en el presented caso, se obtiene considerando nitr6geno en unidades de 100 kgs. y rendimiento en toneladas; de esta mantra, todos Jos valores de M y de Y caera'n por dentro del rango de 0 a 10. Otro cambio necesario es el de establecer a N 2= x 2* Los datos para ]a regresi6n se presentan en la Tabla 2. A continuaci6n se ven los c6lculos requeridos para obtener la ecuacio'n.




-13
T a b 1 a 2 Datos y cglculos pat-a la regresi6n de una curva cuadrgtica
x 1 (N) x 2 (N2)y
0,0 0,0 5,50
0,0 0,0 5,20
1,5 2,25 7,00
1,5 2,25 6,35
3,0 9,0 6,95
3,0 9,0 7,00
-9,0 22,5 38,00
76Y T 1,5 3,75 6,333
EX = 22,5 E 172,125
1 2
2 2
Ex9,0 E x= 87,750
= 1X 60,75 E 61,875
-('X ) ("2) /n=33,75 -(Ex) (rY )/n =57,000
E x 1 x2 = 27,00 Er x = 4,875
E2 V = 155,5875 E y 2 -243,9150
- (I:x 2) (EY)/n=142,5000 -(Ey ) 2/n =240,6667
Erx2y =13,0875 E y 2 3,2483




-14
Los ca'1culos de la Tabla 2 se hacen as'r (n6tese las letras mayt'sculas y minu'sculas):
EX2 1,5)2 + 15) 2+(3,Q) (3,0) 2=22,5
(z x1 )2/n, = (9)2/6 = 13.5, y E x (Ex) 2/A 6 sea
E = 22.5 13.5 = 9.0. Los otros valores se hacen por el mfsmo metoo
La funci6n cue se, quiere, tiene la forma general de Y a + b1 X1 + h2 X2ypr
lo tanto se necesita ha! lar a, b, yb2
m :2) (FX1 Y) (E (x1 Yx2 E ( x2y)
(E :2) (Ex 2 2 x ( ~ x 2 ) 2'
b ~(E x1) (Ex2 y) (E (x Ix2 ) E ( xY)
2E x1 ( 2Qx x 2 )2
6 en el ejemplo nuestro: (87,750 ) 4,875 )- (27,00 )C13,0875)
b1(9,0) (87,750) 2 (27,00) (27,00)1,2
-13,8375
b = 60,75 =-0,228




- 15
Conociendo b, y b se puede hallar el valor de a con ]a siguiente ecuac16n:
2
a + b I -X 1 + b 2 X 2 Sustituyendo, tenemos que:
69333 = a + 1,225 (1,5) 0,228 (3,75) de donde a = 5,350 La ecuac16n complete, recordando que:
X 1 = M y X 2 = N es:
0 228 M 2
y = 5,350 + 1,225 N
Esta es ]a misma ecuacio'n que se fij6 "a ojo" usando los valores promedios de las replicaciones, pero en 6sta ecuaci6n debido a ]a codificaci'n, la magnitud de los n'meros es different. Aqur N se mide en unidades de 100 kilos y y en toneladas: ]a maxima producci6n result con P = 2,7; tambign, la producci'n maxima es Y = 6,99 toneladas. Debido a que se usan anidades de 100 Kgs. de M y toneladas de arroz, es nece= sario tambign, cambiar los precious de acuerdo a estas unidades para resolver el o5ptimo. Si un kilograms de H cuesta $ 4,40, entonces el "precio" de 100 kgs. es $ 440.oo.




16
Con arroz a $ 2,80 por ka. ol precio por tonelada es $ 2.800 Por lo tanto la producci6n 6ptima se encuentra do la siguiente mantra;
d Y 1,225 0,456 N = 44o/ 2800
d fl
donde N = 2,34 unidades o sea 234 Ka.
Sustituyendo various valores de N y N 2 en la ecuacl'n so puede obtener sufIcientes punts pare trazar una curve suave, Figure 5. Cualcuier punto de la curve represents la respuesta esperada pare la cantidad de N seMalada en eje horizontal.
La discussion sobre ]a prueba de 'bonded do ajuste" de la curve aug tan buena es la curve respect a Jos datos se dejara pare la seccio'n 111, "Anglisis de las Respuestas".
R e g r e s i 6 n M I t i p I e
La regres16n sencilla so utilize cuando hay un solo insumo variable, por ejemplo: N 6 P 2 0 5 0 6 una cantidad de abono complete tal corm 10 30 10. La
regres16n milltiple se necesita pare analizar respuestas de dos o m5s Insumos; a la vez. La teorl'a de regression multiple es igual a ]a de regrest'n sencille, pero los cgiculos requeridos se complican de tal formm aue es difrcil realizarlos con una calculadora de escritorio. Por lo tanto, la mavorta de los; anaillsis por regresi6n multiple requieren !a e!sp---iib-7Tea4 do una computadora electronic. Por buena fortune estas m6quinas ahora est'n disponibles para la mayorfa de los




17
investigadores que realizan anglisis por superficies de respuesta.
Debido a aue ]as factildedes de equipo y personal de cada instituci6n varran, no se presentan aqur los requisites para In codificacio'n de los dAtos para regres16n multiple. Estos se pueden obtener del personal operator de )a computadora. Las s6banas de resultados tambidn varran pero todes tienen format similar y el personal operator de In computadorn lo podrg interpreter parn el investiondor. Lo que se present aqu' es ]a forma general de la superficie; ( en In Seccl6n III
se present un ejemplo).
Las superficies multiples pueden representer cualquier forma (lineal, cuadr'tica,
bica, etc.) que desee el investigator. En una misma ecuacI5 un insumo puede dar respuesta cuadr6tica y otro insumo respuesta c6bica.
Lo que m5s distingue a las superficies m6ltiples de Ins sencillas es In possible interacci6n entre los various insumos. Una interacci6n existed cuando In cantidad de un Insumo usado influye en In producc16n resultant del otro, ( u otros) Insumos. MatemSticamente ]a interacci6n se represents por te'rminos en la ecuaclo'n tales como: NP, N 2 P, NP 2, etc. El primer t6rmino, NP, Indica que M tiene un efecto lineal en P y viceversa, P tiene interaccl6n lineal con M. El segundo tgrTnino N 2 P indica que el effect de P en el t6mino cuadr5tico M 2 es linnal, pero el effect de N en P es culvilineal. En general es sufficient usar el t9rmIno de interacc16n sencillo 6 sea NP.
El siguiente ejemplo server' para demostrar el effect del t6rmino de interacclo'n entre dos insumos N y P dada ]a funci6n,
Y a+ b 1 H + b 2 P b 3 N 2 b 4 P 2 + b 5 NP




Tenemos que el signo positive pare b 5 indica que In interaccio'n entre N y es positive. El valor 6 magnitude de b 5 represents el effect absolute de tal interaccio'n. Pensando en el effect de P en la productividad de M, poderlos reescribir la ecuaci6n asr:
Y = (a + b P b P 2 ) + (b + b P) M- b M 2
2 4 1 5 3
Se ve en esta forma el effect que tiene P en ]a funci6n de N. Se puede escribir ]a ecuacio'n anterior asr:
Y = A + BM b 3 M 2
donde A a+ b 2 p b 4 p 2 ) y P = ( b 1 + b 5 P ) y en esta manern ver que
cambios en P resultant en cambios en el nivel de la curve manifestados por el intercept A y en ]a pendiente pare cualquier valor de M debido a]-efecto de P.
Fuera de lo anterior, se puede ver que P tiene un effect en la cantidad de N cue result en producc!6n maxima y producci6n 6ptima cuando se estudia la derivada.
6 y b + b P 2 b N
6 H 1 5 3
Por lo tanto, In cantidad 6ptima de N depended de ]a cantidad de P y In magnitud y direcci6n de In Interacclon representadas por (b 5




Con tres insumos m-flables, hay tres possible interacciones sencillas. Considerando M, P y K, por ejemplo, las possible interacciones son NP, MK v PK. Una parte del anAlisis do la superficle m6luiple es determiner si hay interacciones entre los insumos 6 si ]a raspuesta de cada uno es indepondiente. de los demas.




20
11 STUDIOS PRELIMIMARES DE LOS DATOS
Es probable cue ]a parte del anglisis que le r:nde m5s provecho a] investigator es !a familirizaci& con los datos. Los c'lculos estadrsticos no son magos; ellos aislados raras veces produced resultados acceptable. Por eso, se debe pensar an la estadi'stica como, una herramienta del investigator y no como ]a meta de sus laborers. En este sentido es precise que el investigator conozca sus datos para que las conclusions sean apropiadas.
G R A F I C A S
Fuera de estar familiarizado el investigado.- con el experiment misrno, ]a n-,P.Jor mantra de concern los datos es verlos en forma gr5fica. Como es evidence al estudiar ]a Figura 3, es possible formula ideas de" comportamiento de los factores al ver los datos en esta forma. Es clerto, que no siempre se pueden ver relaciones porq,-,e los datos no muestran lo -ue no existed. Si no hay una'relaci6n entre el par de variables (la dependent y ]a independientle) no se verg una relaci6n evidcn&e en In gr9fica. Por otro !ado, de vez en cuando es possible
crear relaciones evidentesi "A OjO", qUe en reaUdad no existent; sin embargo la primer etap3 de un buen anglisis de dato,7 experimentales es colocarlos en una o mas gr5ficas.
1) Ver Karl A. Fox, cp. cit. p 486




21
Es f5cil colocar y estudiar relaciones entre solo dos variables, pero es ma's complicado cuando el n'me-ro de variables producto m5s insumos) excede a dos. Una mantra f6cil y iltil es sumar ]as variables independents en unA unidad comun. Es decir, con fertilizantes se puede sacar ]a suma de N + P 2 0 ; + K 2 0 y colocar 6sta suma contra rendimiento pare cada tratamiento como se he hecho en la Figure 6 pare los datos de la Table 4.Ademas de colocar los punts, es dtil anotar ]a cantidad de cada element que result' en el valor total.




-22
T a b I a 4-Rezultados experimentales en arroz kq/ha.
T r a tnmm r .ins de nutrientes replicaciones Promedio
N P K N +P0 + K0 1 2
2 5 212
75 210- 20 115 4970 52.!0 5105
75 20- 60 155 5900 5100 5500
75 60- 20 155 64i50 4820 5635
75 60- 6~0 195 6100 4250 5175
225 2> 20 265 5330 5810 5870
225 20- 60 305 5500 6850 6i75
225 -60- 20 305 6100 6310 6205
225 60- 63 345 7510 5950 6730
150 40- 40 230 7430 5970 6700
0 ko- 4080 4440 4500 4470
300 40- 40 380 6950 6800 6875
150 0 '-0 115100 6450 52
150 80- 40 2710 5670 5280 5475
150 110- 0 19 % 6090 5950 6020
150 40- 8j 270 610 5300 55
1) Fuente:
Frogratra Nacional de Arroz. Datos de In Viriginia (Risaralda) parA IR-22




- 23
En ]a Figura 6 aparecen varies relaciones. Primero se observe que el rendimiento aumenta con aumentos en ]a suma de M, P 2 0 5 y K 2 0' Segundo, se ve cue hay pocas diferencias entre respuestas a P 2 0 5 y K 2 0' Ver, por ejemplo los siquientes pares de datos 150 40 0 con 150 0-40, 75 60 20 con 75 20 60, y 225 60 20 con 225 20 60.
Por regresi6n sencilla, se puede calcular ]a respuesta Y f (N + P 2 0 5 + K 2 0),
para tener una idea de ]a pos;ble respuesta a dosis mas altas cue ]as inclurdas en el experiment (con todo cuidado a] sacar conclusions por extrapoiaci*6n,6
por fuera del rango de Jos datos ). La respuesta function para estos datos es la siguiente, donde X equivale a la suma H + P 2 0 5 + K2 0 en kg/ha.
Y = 4.016 + 10,2012 X 0,0085 X 2
La funci6n tiene un maxima de 7.077, donde X es 600 K9. de nutr7entes. Por supuesto, es absurd conclu'r cue este maxima es Preciso, pero sr nos indica con toda probabilidad que no hemos alcanzado a la cantidad de nutrients cue resultarfa en production maxima. Esta funci6n tampoco da informaci6n sobre cual combinaci6n de M, P y K ser'a la mejor. Sin embargo, se puede concluir que es necesario concern el effect de dosis m5s altas en este cultivo para tener toda le informac16n del caso.




- 24
S U 8 -R E S P U E S T A S S E N C I L L A S
Es possible tambi6n en !a forma gr5fica de la Figura 6, ver 6 graficar unas subrespuestas sencillas. Considerando, como se observe' anteriormente, cue hay poca diferencla entre ]a respuesta a P y a K, hay tres niveles distintos de P 2
0 5 + K 2 0 con M equivale a 75 kg/ha. El valor promedio para el tratamiento 75 20- 20 eauivale a 5.105; el promedio para 75 60 20 Y 75 20 60 es
5.562; y el promedio para 75 60 60 es 5.175. Con estos tres valores se puede trazar la curva de respuesta a P2 0 5 + K 2 0 con M fiJo a 75, Ficura 7. De igual mantra se pueden graficar las curves de Y = f (P 2 0 5 + K 20IN = 150) y Y = f (P 2 C, 5 + K2 OIN = 225).
En la Figura 8 se ven ]as tres curves cuando se varra N, con P 2 0 5 + K 2 0 en 3 niveles.
Estudiando estas curves se puede ver ccn facilidad la interacc16n ent+,-e M, y P 2
0 5 + K 2 0. En !a figure 8, se puede cbservar nor ejerplo, que con cantidades bajas de P 2 0 5 + K 2 0 (40kg.) la respuesta a ritr6geno es relativamente baja y dentro del ranoo de Ir.s datos experimentales, sc ven ]as tapas de production 11 y M. Con 80 Kq. de P 2 0 5 + K 2 0, la respuesta es m5s fuerte, y para alcanzar el mgxirro se require el uso de m5s nitr6geno. Pero con una dosis alta (120 Kq d2 P 2 0 5 + K 2 0) la respuesta a nitrogen nueda en la etana I dentro del rango del experiment. Otra vez se ve la evidencia de que se debe experimentar con dosis m9s altas.




25
ESCOG I ENDO CURVES PARA ENSAYAR
Del studio de las F(guras 6 a 8 se puede escoger con Inteligencia ]a clase de respuesta que se va a calcular con ]a computadora. Por ejemplo, es obvio Que con dosts relativamente bajas se necesitan functions que muestren valores m5ximos, o sea curves que suben y bajan tales como la cuadrStIca 6 la de ra'z cuadrada. Por otro lado, Para dosis altas se require une funcl6n que queda en etapa 1, tales como la Cobb Douglas 6 una cuadratica con mrnimo en lugar de mAximo. Pero pare demostrar todas las curvatures con una sola ecuaci'n es new cesarto una funci'n mas complicada como la cdbica.
Fuera de ]a forma de )as curves hay que pensar en possible interacciones. Parece que entre P y K, hay poca interacci6n, Pero M tiene interacci'n con P 05 con K, 6 con los dos.
Por lo tanto, parece que hay ]a necesidad de pedir ecuaciones cilbicas con interacclones. Pero como es muy dificil trabajar con las clbicas, siempre se debe pedir cuadra'ticas a la vez. Si ]as c'bicas no don resultado significativemente different a ]as cuadra'ticas, puede ser m5s aconsejable user las cuadra'ticas pare el anfilisis final.
Debldo a que se desconoce de ante mano cua'l de las possible classes de functions va a ser la mejor, se deben pedir todas ]as combinations possible a la vez Para comparar y asegurar asr de que la mas Indicada es*ta' dentro del grupo calculado. Por lo tanto, se suglere pare los datos de arroz, solicitor las siguientes ecuaciones:




-26
1 a +b IM 2 P+b3 K+b4 M2 5 p2+b6K2
S2 I + b 7NP
y 3V + b 8PK Y4 = V + b 9NK
- 5V + b 7NP +b 8PK y 6 y V1 + b7 4P +b 9 NK
V 7 1 +b8 PK + b 9NK
V8 = V1 +b 7NP +b 8 PK +b 9NK V a y 6= )as ecuaciones YV1 a Y8 con la adici6n de bio N3 en carla una.
V1 aV2 y ]as ecuaciones Y1 a con la adici6n deb 3eca u.
V 25 a V32 = las ecuaciones V1 a V8 con la adicio'n de b,2 K3 en carla una.




27
Es muy probable que una de ]as anteriores ecuaciones describe bien las relaciones de los datos del ensayo. Puede ser que no se espere respuestas en etana I sino 'nicamente en etapa 11 y I I I nor )o que solo hubiere sido necesario pedir las primers 8 ecuaciones. Por otro ]ado, es possible que existan relaciones c'bicas que no se vieron al estudiar Jos datos y por eso es mejor pedir las c'bicas para estar m5s seguros.




- 28
III ANALYSIS DE LAS RESPUESTAS
Al recibir las s5banas de resultados de la computadora, el investigator esta' listo para InIciar ]as tapas finales del analysts. Estas tapas incluyen la de escoger la forma final de la respuesta y la de sacar conclusions tanto f'sicas como economy
' icas.
ESCOGIENDO LA FORMA FINAL DE LA CURVA
Armado con los distintos valores y pruebas estadIsticas y su conocimiento y experiencla, el Investigador esta listo para escoger ]a forma de respuesta que es m5s representative del fen6meno que esta' estudiando. Al principio se discutira'n aigunas pruebas estadrsticas y luego los otros factors informationn a priori y a posteriori) que se deben consider en el process de escoger la superficle mas adecuada.
Valores y pruebas estadisticas
Sin ser altamente t6cnico, se puede decir que las pruebas estadrstIcas se basan en tres medidas de variaci6n en ]a variable dependent (generalmente rendimiento):
1) La variaci6n "explicada" por la regresio'n,2) la variaci6n no explicada, y 3) ]a variaci'n total 6 la suma de I y 2. St se estS estimando una superficie relaclonando ]a respuesta de atroz a nitr6geno se puede describir asr: Y = f (NIP 2 0 5 v K 2 0, agua, suelo, etc.) En ]a funci'n, habTan t4minos relactonando el rendimiento a cantidades de N y sera' residual o error:




- 29
Y = a + bi N + b 2 N 2 + e
Incluldos en el t45rmino de error, (e), estgn los errors debido a] no controlar bien )as cantidades de N. P 2 0 51' K 2 0, rieno, etc., y otros factors tales cano incidencias de plagas que afectan a unas parcels ma's que a otras. Tambign Inclu,
do en este t,6rmino estg el error que result cuando )a foma de la curva no describe perfectamente la curvature del fenomeno biol'gico. En resume ]a varlacl'n 1'explicada" estg compuesta por a + bi N + b 2 N 2 y ]a variation no explicada esta' contenida en el t4rmino e .
La variaci6n total del rendimiento se mide por medio de la suma de cuadrados de ]as desviaciones de rendimiento del promedio, lo cual equivale a E y 2. La variaA2 k
ci6n explicada variacio'n debida a reares16n es E Y12 {b, (z xi y
Varlac16n no explicada, o sea ]a suma de cuadrados de las desviaciones de la reA 2 2 A2
gresio'n, E (Y equivale a la diferencia E y E yv
Para presenter estas medidas, se utilize como ejemplo la regresi6n sencilla de arroz en Corinto, Ca;;ca. Luego se presentara' un ejemplo de regresi6n multiple basado en un experiment en la Virginia, Risaralda.




30
C o e f i c I e n t e d e D e t e r m I n a c i 6 n
Una de ]as medidas estad'sticas de regresi'n mas conocidas es ]a del coeficlente
2
de determinaci6n bonded de ajuste R Este coefficient es la proporcio'n de la variaci6n explicada por ]a varlac16n total. La variacl'n explicada'para una funclo'n cuadratica sencilla es:
E A 2 = b E X, y + b2 Z
Y12 1 X2 y
6 sea, para nuestro ejemplo:
A
E Y12 2 1, 225 4,875 0,228 (13,0875 2,9879
2
Variacio'n total: F y 3,2483.Luego
2 b 1 E X, y + b 2 E X2 y 2,9879
I = 0,920
E Y 2 3,2483
Esto quiere decir que el 92% del cambio en el rendimiento del product al aAadir nitr6geno, se explica por la superficle de respuesta represented por la ecuacl'n.
= 5.350 + I t225 M. 0,228 N 2
Como regla general (no precisa) se espera un valor de R 2 mayor cue 0,50 6 sea que ]a superficie calculada explica por lo menos ]a mitad de la varlacio'n en los datos. Un valor de 0,92 se consider como bastante alto para datos de esta




31
clase. El valor m'ximo de R 2 por supuesto, es 1,0. El R 2 viene impress en ]a sfibana de ]a computadora. Varianza, error standard e Intervalo de confianza El error standard del estimation de )a represlo'n es ]a rarz cuadrada de ]a varianza aue es la varfacto'n no explicada, ajustada por los grades de libertad. La varianza de la regresi6n es:
2 2
S 2 E y 7, 12
y.12
n k I
donde k eauivale a] nu'mero de coeficientes (b, y b 2 po r ejemplo):
S y-12 2 3,2483 2,9879 = 0 90868
6 2 1
La varlanza generalmente se Imprime en la s5bana de In computadora. El error standard es la rarz cuadrada de ]a varianza.
S
Y. 12 b,6863 0,2962
Este valor mide la presicio'n con ]a cual la rearesi6n mide el valor Drom.edio de rendimiento, 7 6,333. El intervals de, confianza de T se puede calcular asr:




+ t s
- a y-12
donde t a es el valor tabulado de ]a prueba cle pars un nivel de conflanza
a y con n k grades de I lbertad.
Para el ejemplo y con 95% de confianza (a= 0,05 y con 6 2 4 cirados de libertad), el intervals de confianza es:
6,333 + (2,776 (0,29462) /2 45
6,333 + 0,334
Este c5lculo Ndica cue se puede conflar con 95% de seaurided cue el verdadero promedlo de rendimlento pars los mismos tratamientos, estA inclurdo entre 6,000 y 6,667 ton/ha. Suponiendo cue los valores do h I y b2 son ciertos, so puede trazar una curva por encima de Is regresi6n y otra por dehajo, a distancias de 334 kq. y confiar oue Is verdadera superficle de respuesta est3gain iurda en este rango.
Sin embargo, es de Importante reconocer quo a menos nue so respite el exnerimento Is superficie acu' calculada es el meior estimation existence de Is verdeders
superf1cle de respuesta.




- 33
Significancia de los coeficientes
En adicio'n a] error en medir el nivel do la superficle, se puede tener errors al medir la pendiente y la curvature, representados por los valores de bi I b 2 etc. La prueba para determiner st los valores de Jos b i individuals son distintos a cero es la prueba de 'It". Si el valor de 'It" no es sufficient para confiar en nue el valor de un b i es distinct a cero (puede ser nositivA 6 neqativa) se supone quo el rendimiento no depended del te'rmino que corresponded al b i Esto result debido a cue si el valor de b t es cero, este te'rmino desaparece de la func!6n.
El valor calculado de 'It:' para cada coefficient b, estarg imDreso en la sabana de ]a computadora. Para trabajos hechos a mano, el valor calculado de 'T' es el siguiente:
2 2 2
t b s x x 2 x 1 x 2)
t 111225 / 0029462 -87,75 60,75
t n
I 45q,
t b / s E x 2 X1 (E x2 (r x x ) 2
2 2 y-12 1 1 2 1 2




34
t 2 = 0.228 / 0,29462 V 9,5 7 60,75
t2 = 2,0160
En un cuadro Para valores de "t" de. una sola cola, y para n -k- I = 6- 2 1 3 grades de libertad, se ve cue t 0,025' = 3,182, t 0,05 = 2,353 y t0910 1,638. Por lo tanto, b es significant al nivel de 2.5% y b2 a] nivel de 10%. Se puede usar una orueba de "t" de una soia cola para poder oredecir el siono de los coeficientes. Cuando se desconoce a priori el signo, hay cue usar una prueba de dos colas torque el coefficient puede ser mayor 6 manor cue cero. En general una prueba de dos colas se necesita para los coeficientes de los t6rminos de tnteraccio'n.
El intervals de confianza para dos coaficientes b i es una funci& de t a y S y. 12. Es obvio cue different valores de los bi por dentro del Intervalo de conflanza
pueden crear superficies de respuesta distintas. Debido a errors er. estimar los coeficientes bi, ]as estimaciones da la sQperficie n4s lejos de' valor nrorredio del insumo tienen errors m5s grades cue estimaciones cerca a] promedio.
El error del estimation de los coeficientes mn's el error de' estimar el nivel de la reqresio'n crean el intervals de conflanza para la regresi6n.




35
Siqnificancia do Is Ecuac16n
La prupba de 'It" se utilize nara determiner la significance de cada uno de los coeficientes individualmente. Se nuede scepter 6 rechazar cada coefficient de acuerdo con dicha prueba. La prueba do IT" es una nrueba de Is significance de la ecuaci6n complete, y a In vez es una prueba de todos los coeficientes combinados. Para unas computadoras ]as s6banas tienen el valor de F calculado impress, y en otra Cinicamente suministran Is Informaci6n para calcularlo.
Por ejemplo:
A 2 / k
E Y12FC = S y-12 2
F C = 2,9R79/ 2 17.211h
n Opo., 8
El valor de 'IF" tabulado parm W y (n- k 1) 6 2 y 3 arados de libertad es 16,04 pars el nivel 0,025 de probabilidad, o sea que In superficie enter calculads por rearesi6n es significant a un alto nivel.
En resume partial, hemos calculado los siquientes valores para determiner Is significance de nuestra ocuacio'n:




36
2
R = 0.920
t I = 3,459 (2,5 % t 2 2.0160 (10% ) F c = 17.2li4 1.2.5%)
En general, los valores y niveles de significance son altos, lo que quiere decir que )a superficie calculada represents muy bien )a real. Por lo tanto, probablemente no es necesario hacer otros calculus para esta superficie. Sin embargo, para demostrar el uso de otro anglisis, se usarg la misma ecuaci6n.
Significance de terminus adiclonales
En unos casos es l6gico pensar si uno u otro de los te'rminos contribute a la significan-cia total de ]a regresi6n. Una media es el valor de "t" pata el coeficiente del t6rmino. Otra prueba es la de "F" calculada en base a] ana'Itsis de varianza .
El it9todo para ]a prueba da "F" es divider la variac16n total (z y 2 ) en tres parties: 1) ]a parte explicada por la ecuaci6n sin el te'rmino additional, 2) el aumento en la variaci6n explicada debido al t6rmino additional y 3) el error o residual.
k I
La parte explicada sin el additional es: E (b i Txi y ) y el aumento debido i=l
a) t6rmino additional es:




-37
K K-1
Z b E xi y ) Eb i xy donde
el t~rmino k es el adicional. Debido a la inclusi6n de diferentes tgrminos en ]as dos ecuaciones los valores de biseran distintos en cada ecuact(6n. Con eso el aumento debido al t6rmino adicional no es simplemente b k E x k Y Con los mismos datos de arroz, se puede resolver una ecuaci6n lineal de forma y = a + b x16 sea y = a + b M. 11 valor de b es Z x y / E
b =4,875/9,0 = 0,5416
y df W a + b YX resulta ]a ecuaci6n::
A
y 5,5206 + 0,5416 x
El valor de b en esta ecuaclo'n es distinta a] valor de b Ide )a ecuacio'n cuadr~tica. Para la prueba de I" del t~rmino b2N 2 se puede calcular:




- 38
Fuente de F6rmula Grados de Suma de Cuadrado
varlacl6n libertad cuadrados medio
Total E y 2 n I = 5 3,2483
Ecuac16n lineal b Zxj Y k I = 1 2,6403
Adicional del
cuadrgtico b 1 Ex, y +
b 2 Ex 2 y
b Exi Y 1 0,3476 0,3476
Error 6 variacio'n
de ecuac!6n cuadrStIca n k 1 =3 0,2604 0,0868
En lo anterior los valores del cuadrado medlo equivalent a la suma de cuadrados dividida por los grades de libertad correspondents. El valor de "F".es Igual a la prcporc!6n dell cuadrado medlo del te'rmino adiclonal al cuadrado medlo del error, 6 sea:
F 0,3476 4,0046 g. 1. = (1) y (n k 1) = 1 y 3
C 0,0868
En una tabla de "F", se encuentra que el valor calculado no es sufIcientemente grande para hacer ]a relaci6n siqnificante. Esto quiere dectr cue basados en 6sta prueba, ]a ecuccio'n cuadra'tica no result en una representacl'n MJor de los datos cue la ecuaci6n lineal.




- 39
Pero entonces 6sta prueba queda en contradicc!6n a ]as dema'sl En cuSles pruebas estadrsticas se puede creer? Que' se puede conclurr? St la estadrstica es una cfencia precise, co5mo es que puede resultar en concluslones contradictorlas? No se puede confiar en ]a estadt'stfca?
Alguna de istas preguntas se contestar'n en la secclo'n siguiente.
Informaci6n a priori y a posteriori
La estadrstica no es unaciencFaen s 'I, sino una herramienta para studios cientrficos. Alslada de la realidad, la estadt'stica produce poca information y por eso es necesario que el investigator conozca sus datos y tenga buena base en 18 terra de su ciencia. Sobre todo, es experience que es sumamente valiosa al investigador en el process de analizar )a informaci'n de sus experiments.
En la Figura 9, se traza los datos de ]a Tabla 2 y las dos curves calculadas en base de los mismos. El problema es escoger entre ]as dos curves -cugl es ma's representativa de ]a realidad. A continuaci'n se present una tabla de cornparaci6n de los valores estadi'sticos de las dos ecuaciones. Estadrstico Lineal Cuadratica
R 2 OP813 0,920
2 S 2
Sy x 0 y.12 0,152 0,0868
t b 4,1616




40
t b 3,4590
t b 2,oi6o
F c (ecuacl'n) 17,37 17,21
Fc (tdrmino cuadr6tico) 400046
Significant a mas que 95% Significant a mas que 90%
El valor de la prueba de IT" de cada ecuaci6n es Igual indicando que cada una es igualmente significant. Pero la prueba de 'IF" del t4mino cuadr'tico indica que dicho t6rmino no mejora significativamente ]a representac16n del feno5meno, el cual est' respaldado por el bajo valor de 'It" del coefficient cuadra'tico. Por
otro lado la varlanza 6 error standard de ]a regresi6n para le cuadr6tica es la mitad de ei de la lineal, y el coefficient de determinaci6n para la cuadrStica es bastante mejor oue para ]a lineal.
Es probable que en base a] puro anaflisis estadt'stico uno rechace la curva cuadratica en favor de ]a lineal no obstante que el R 2 es mayor para la cuadraftica. La raz6n para rechazar la cuadratica es ]a prueba de 'It" del coefficient b2 y la prueba de 'IF" del mismo te'rmino. La prueba de 'It" indica que el coefficient no




41
es significativamente different de cero, y la prueba de 'IF" indica que inclutr el t6rmino no mejora el est[mativo de la respuesta.
Pero la teor'a y ]a experience con curves de crecimiento y superficies de respuesta a nitro'geno, aseguran que tal respuesta no debe ser lineal si el rango de dosis es suficientemente amplio El rango de aplicaci6n de nitr'qeno en los datos parece bastante amp] io para dar una respuesta curvi I 'inea, y es cierto que los valores promedios de ]as observations caen en una curva y no en una recta.
Por otro, lado es possible que Jos resultados experimentales pertenecen a una curva mas complete que una cuadr6tica. Es decir, que dentro, del rango amplio que se tiene, pueden existir las tapas 1, 11 y 111, pero con dnicamente tres dosis es impossible determinarlo.
Entonces qu' se conclude? La terra indica que dentro del rango de Jos datos
debe haher una respuesta curvilrnea. Los ca'lculos estadi'sticos resultaron en una curva, pero con unas pruebas no significance. Pero, aunque todos los valores de ]as pruebas no son significance a niveles altos como 10% 5 5%, si se va a conclurr que la curva es mas significant que ]a recta, se tendrg raz6n en mas del 50% de los casos. (En este caso el valor de F c indica que el te'rmino cuadrfitico es significant a un nivel entre 15% y 20%).
Si es necesario hacer una conclusion basado 'nfcamente en los datos presentados ademas de la l'gica teorica y experience, la mejor evidiencia que se tiene es




42
que la respuesta de arroz a nitr6geno con 40 Kg. de P 2 0 5 y 40 Kg. de K 2 0 en Corinto, Cauca es curvilineal entre 0 y 300 Kg. de N y que la nroducc16n alcanza a un maxima con alrededor de 270 kg. de N por hectgrea. Con esta ecuaci'n se podrra calcular ]a rentabilidad de capital invertido en abono y determinar dosis 5ptimas para varies combinations de precious de abono y arroz. Si
se conclude por otro ]ado que la respuesta es lineal, nada de lo anterior ser'a possible. La Gnica conclusion que se podr'ia sacar es que si paga aplicar 100 6 150 kilos de N, tambie'n paga aplicar 200 Kg. y 300 Kg. y hasta 400 Kg. m's por Ha. Tal conclusion no es razonable.
Por lo tanto, es obvio que la l6gica te6rIca y otra informaci6n a priori y a posteriori proven nor lo menos 50% de ]a material para anglisis y el analysis estadrstico prove no m5s que 50% de la misma. En resume, en adicio'n a] anilisis estadrstico, ej Investigador tiene que contar con:
1) informaci6n a priori tales como teor'a y experience y
2) informaci6n a posteriori como la factibilidad de los resultados
frsica y econ6micamente.
RESUME DE CALCULUS ESTAD ISTICOS
Los siguientes son los c6lculos necesarlos para el anglisis estad'Istlco de una curva cuadr5tica con una sola variable independent de ]a forma




- 1432
y = + b 1XI + b 2X2 donde X 2= X 1 Estgn listados en el orden m~s f~cii de calcularlos.
(-2 2 2
2. b 2~ 1~ (xY) -(Exl x2) (Zx2 y)
D
3.x ) (1x2 y) (Ex, x2) (Zxl y)
D
12 2 A2 xy
5. S ~.2 z 2 i2
16. S y.12 y1
7.R2 = AE 2 / y2
7. R z~Y12 '
8. tI =b1 /sy-12 / x2 2 D ,g.1. =n -k -I




- 44
9. t2 =b2 / Sy12 x2 g.1. n-k-1
A2
EA 2 /k .
10. F Y12 k g. 1. = (k) y (n k 1)
C =
y. 122




- 45
IV UN EJEMPLO:
ARROZ EN LA VIRGINIA, RISARALDA
Cuando se d1scuti6 ]a regresi6n multiple, se presentaron los datos y se hizo el anglisis preliminary de un experiment en arroz. Aqur se present In mantra de escoger In f .nci& que se debe utilizar para formula recommendations para los productores e investigators.
A continuaci6n se ve una tabla en u-:a forma similar a ]a so'bana de computador en donde se encontrarg el n6mero 6 nombre de Ins variables, los valores de los coeficientes, la varianza de los coeficientes y los valores de -It" correspondientes, m5s el valor de ]a constant de In ecuaci6n, el valor de R 2 In varlanza de ]a ecuac16n y el valor de 'IF c 11 para la ecuaci6n. Para In ecuac16n presentada ( cuadr6tica sin interacciones ) n = 30 y k = 6.
Tabla 5 Ejemplo de una parte de una s9bana de computadora VARIABLE B %PAR 8 T
19-780838 46.Q]4673 .887954
p 62-871078 659-781982 2.447658
K 34-337997 659-783447 1.336823
N 2 0.042673 0.000500 1.909041
P2 0.739203 0.098815 2.351535
K 2 0.404807 0.098816 1.287760




46
CONSTANTE 2499.876465
R CUADRADA 0.580125
VARIANIZA 350233.437500
F CALCULADA 5.296387
Al estudiar la tabla se puede ver inmediatamente que 58% de la variaci6n en rendimiento ha sido explicada por ]a regresi'n (P. 2 = 01-58 En sr este valor no
es alto, pero puede ser acceptable si la ecuaci6n nos parece bien en otros aspectos. Con una tabla de "F" con k = 6 y n k I = 23 grades de libertad, se ve que ]a ecuaci6n en total es a)tamente significant (mayor que 99.5%). Este nivel de significance puede dar confianza en sequir estudiando los resultados de las regresiones.
En esta forma sencilla en que se solicIt6 la primer ecuaci6n (sin interacciones)ll es facil determiner el comportamiento de cada uno de los nutrients y su relaci6n con el rendimiento. Quiza's lo m6s important es determiner In forma de ]a relaci6n y, si la curva tiene un m5ximo, a que cantidades cada nutrients se alcanza el rendimiento m6ximo.
Al estudiar los resultados es obvio que el rendimiento responded a cada nutriente en forma curvill'nea con ma'ximo (sin preocupainos con la significance de la I/ Ver P.26 para las ecuaciones solicitadas.




47
curva por el momento. Resolviendo para cada uno, se encuentra cue el rendimiento maxima para cada nutrients se alcanza donde N 231,9, P = 42,5 y K = 42t4 Kg/ha. De acuerdo con los anglisis preliminaries cue se hicieron, estos valores son muy razonables. En cuanto a la significance de los coeficientes, el valor de "t" requerido para alcanzar a c)O% (prueba de una cola) es t = 1,319 gradess de libertad = n k I = 2-3 ). Todos alcanzan este valor con la excepci6n del coefficient para K 2 Pero el nivel para este es aproximadamente 85% y por ser l'gico y de acuerdo con el an5lisis preliminary, so puede aceptar, por ol momento a] menos.
Se puede decir, entonces, que se est5, m9s o menos, satisfecho con el comportamiento de los datos y la ecunci6n. Pero hace falta el analysis de interacciones y de possible respuestas c6bicas. Por lo tanto, se debe estudiar las dem5s ecuaciones que se tienen. Es m9s efficient estudiar possible effects c'bicos antes de estudiar interacciones torque se quiere consider ]as interacciones 6nicamente para la forma de ecuaci6n cue se ha escocido.
La novena ecuacl'n (ver ]a lista de ecuaciones cue se pidi' en la secci6n "Escogiendo curves para, ensayar"), es la misma que la primer con la excepci'n de que se incluye el t6rmino N 3. El studio de 6ste t6rmino no es tanto para determinar su significance, estad'isticamente como para determiner si hay un effect de )a etapa I do produccl6n en los datos relacionados con nitr6geno que posiblemente una curva c'bica represents mejor la respuesta natural. La raz6n es cue si




48
en realidad existed un effect de 4stos y no se conoce es f5cil sacar conclusiones erroneas.
Para estudiar la ecuaci6n 9, la cual no tiene interacciones, se puede escribir ]a subfuncio'n de producci'n, y = f (NIP, K). Se desconoce el valor de ]a constante, pero por el moment esto no represents ningun problema. La ecuacio'n es:
A = 2 3
Y A + 26,366211 N 0,098125 N + 0,000123 N
Para estudiarla r9pidamente, se calculan la primer y sequnda derivadas:
A 2
Y_ 26JI36621) 0,196250 N + 0,000369 N
A,
y 0,196250 + 0,000738 N
Igualando ]a segunda derivada a cero y despejando se halla que N 266 aproximadamente, 6 sea que la primer derivnda Itiona u, mrnimo donde N 266, Figura 10. Igualando ]a primer derivada a cero, se encuentra que no existed tal soluci6n. Esto quiere decir que la curva de la derivada siempre cueda positive. Por lo tanto, ]a funci6n de production 6 superficie de respuesta clbica no tiene mgximo ni mfnimo, pero iiene una pendiente positive en todas sus parties. El punto de inflex16n (do pendiente minima) se alcanza donde N = 266. Luego, se puede conciurr que la c'bica tiene aproximadamente la misma forma que la cuadr'tica dentro del rango de tratamientos y que 45sta forma no tiene tendencia a etapa 1. Entonces, no existed la necesidad de usar el t'rmino H3 en la ecuaci'n para evitar




49
problemas asociados con la etapa 1. Una excepc16n a la conclusion anterior ser'a cuando el valor de R 2 aurwnte sustancialmente en ]a forma c6bica sobre el de ]a cuadrgtica.,Por ejemplo, si el rendimiento no tiende a disminuir, es possible que el R 2 aumente con la cdbica reflejando esta tendencia. A] estudiar ]a ecuaci6n c6bica en P se encuentra que:
= A + 43,199814 P 0,118023 p2 0,005176 p3
A- 2
Y = 43,199814 0,236046 P 0,015528 P
A,
Y 0,236046 0,031056 P
Se ve en la Figura 11, que aunque ]a ecuacio'n tiene una forma completamente distinct a ]a ecuacio'n en ]a Figura 10, la c6bica, dentro del rango del experlmento, muestra ]as mismas tendencies y tapas que ]a cuadra'tica. Como el P 2 es casi Igual, se puede concluir que tampoco hay una necesidad de
3
usar el t6rmino P
En ]a ecuaci6n con K3 se encuentra otra situaci6n, F.Igura 12.
A 2 3
Y = A + 163,434433 K + 0,160553 K 09004711 K




50
A 2
Y 16,434433 + 0,321106 K 0,014133 K
A
Y 0,321106 0,028266 K
Aqur se ve una tendencia a etapa I en ]a respuesta a notasio dentro del rango de ]as dosis. Con esta tendencia hay que decidir si ]a diferencia entre ]as dos formas (c6bica vs. cuadr9tica) es lo sufficient Para justificar el uso do Is ecuaci6n 'bica en K, lo cual complicarra los dem9s c6lculos.
Primero, se observe que ol m5ximo de la c6bica (K = 47) es similar al ma'ximo Para Is cuadrStica (K = 42,5). Generalmente si los m5ximos son similares, indica que, )a forma cuadr6tIca es adecuada. Los valores de R 2 tambign son similares (0,5801 vs. 0,5855) Adema's el valor de "t" de este te'rmino y-el valor de 'T C los cuales son bajos, Indican que con toda probabilidad, In forma c'b!ca no sea ]a m9s adecuada. Luego, se puede conclurr on este caso que el error al usar Is forma cuadr9tica ser5 pequefio aunoue Is respuesta tiene Is tendencin a manifestar Is primers etapa de production en cuanto a potasio.
Por lo tanto, de lo anterior se puede concluir que pars ningun element es necesario usar Is forma c6bica Para describir In respuesta resultante del experimento. Luego, se puede, usar ]a ecuaci6n cuadritica y empezar el studio de Ins posibles Interacciones.




51
Econ6micamente, si no so incluyen t6rminos do interacci6n on ]a ecuaci6n quiere decir que se puede escoger ]a cantidad 5ptima de cada uno do los elements independienterrente do los otros. Aunque es m5s sencillo as'l, no es tan satisfaction te6ricamente como si ]a cantidad 6ptima do uno fuera dependent do ]a cantidad de los otros.
En el caso de arroz en ]a Virginia, so encuentra lo siguiente on cuanto a los
te'rminos do interaccl6n.
Para t6rminos adicionales
,Ecuaci6n R 2 b I F c
Cu6dratica 0,5801
Con NP 0,5862 0,0570 0,570 0,32
Con NK 0,5906 0,0745 0,749 0,56
Con PK 0,5851 0,5228 -0,523
Con NP,, NK 0,5967 0,43
Con NP, PK 0,5915
Con NK, PK 0,5958
Con NP, NK, PK 0,6019
En ning6n caso so observant que los various te'rminos do interacci6n sean significantes. Ni los valores do "t" ni do 'T c son altos, y el valor do R 2 cambia muy poco con el uso do ]as variw combinations do interacciones. Por lo tanto,




52
es probable que se puedan rechaza;, Sin em argo, es aconsejable estudiar el effect de ]as interacciones antes de toiar una decision final.
Cantidadas Optimas
Ecuaci6n N P K
CuadrCtica 213 42 41
Con NP y NIK 221 41 48
Con NP, 1,',K Y PK 222 4 3 i.7
Aqur se ve qu3 aunque hey diferencias en czntidades 5ptTmas parn las diferentes ecunc;-nes, la diferencia no es grande. SI se c :nsidcra qu-:, en ntrgun caso se estS cxplicPndo m5s que c;proximadamante W/0" de la variacil6n ee rendimiento, el c5lculo de? valor 6ptimo no serg exact, no ;mporta la ecuactr5i. Fn este caso queda a] gusto dei investioador cua'] d-- las representac!ones de la superficle escoc,- -r torque todas trea sm my sitrilwres.
En el sentido purammente estadrstico, por no poder distinqui.- los t6mmos de interacci6n de cero, ne se pueden --sar en *L'a ecurxi6n. Usando concepts aqron'micos y occn6micos, se sabe que, en general sr hay Interacciones entre, nutrients y por lo tanto puede ser preferibie usarlos para demostrar tal effect aun si en este caso tal effect es poco rr-dible. Pensando desde el punto de vista pr5ctico, por haber poca d-ferencFa entre los resultados de ]a cuadr5t.-ca sin interacciones y la cijadr5t ica con cualquier --ombinact6n de interaccl6n, serta m5s convenience usar la cundr5tica sencilla para sacar las conclusions y recommendations.




53
V CONCLUSIONS DEL ANALYSIS Y
RECOMMENDATIONS
Buscar una superficie de respuesta y escoger una ecuacio'n que ]a represented no es un fin en sr. La superficie sirve como medio para aicanm- conclusions en cuanto a] effect de different tratamientos y hacer recomendaciones-a los productores (los cuales son los ciientes del investigator), y server como una gure
para los futures del investigator.
COMO ALCANZAR CONCLUSIONS DIRIGIDAS HACIA EL PRODUCTnR
En rolaci6n al anailisis de los datos para arroz en la Virginia, se nuede conciurr que en este sitio, el arroz IR-22 s' responded a varies dosis tanto de nitr6qeno como de f6sforo y potasio. Para el agriculture que tiene amplios recursos, la dosis m5s adecuada para maximizer sus ganancias netas es de aproximadamente 200 40 40 de N, P 2 0 5 y K 2 respectivamente en kg/ha. Para obteriar tal dosis, se puede EpItcar 300 kg. de 14 14 14 m5s 350 kg. do 6ren por hecta'rea.
Los testigos en el experiment resultaron en un rendimlento promedio de aproxfmadamente 5 toneladas por hect5rea, y de acuerdo con la ecuaci6n escogida, el rendimlento con la aplicaci6n de 200 40 40 debe ser aproximadamente 6.8 tonoladas. Para el production, con una inversion de $1.152, en abono, el valor de la production aumentarra $ 5.057 (de 14,000 para el testing a $ 19,057 con el abono). Sin consider los dema's gastos ni el costo additional de ]a cosecha, este represents $ 3.905.oo de ganancia neta adiclonal por hect5rea ($5.057 -$1.152) o una rentabilidad neta de $ 3,38 por peso invertido on abono.




-54
En el caso de un production de menos recursos, especialmente do capital para inverter en abono, el uso de 300 Kg. de 14 )4 14, m's 300 Kq. de 6rea (en lugar del 6ptimo 350 Kg. de 6rea) disminuirla su inversion de $1.152 hasta $1.064 Este dosis resultari'a en una ganancia neta de $ 3.794 por hectares pero un aumento on rentabilidad neta por peso invertido hasta 3,56. Con el uso do 200 Kg. de 'rea con la misma dosis de 300 Ka. de 14 14 ]A, la inversion serra $ 862.oo por hectares, ganancia neta $ 21-176 y renta ilidad neta por peso invertido en abono de $ 3,68. Estas cifras estgn resumidas en ]a Table 6.
T a b 1 a 6 Anglisis econ6mico de varies dosis valores por hect6rea)
Fertilizante Tratamiento Costo de Ganancia Rentabilidad
aproximado fertilizante neta neta de capital
kg/ha $/he 77-ha
300 Kg.14-14-14
m5s 135-40-40 862 3.176 ,68
200 KgArea
300 Kg.14-14-14
m5s 180-40-40 1.064 3.794 956
300 Kg. ilrea
300 Kg.14-14-14
mas 200-40-40 1.152 3.905 3,38
350 Kg. 6rea




55
Tambi6n es de interns para el production saber cugles cambios debe hacer como resultado de cambios en los precious de los insumos y los products. Para proveerle la informac16n se puede cambiar los precious y resolver ]as varies derivadas para determiner los cambios en cantidades 6ptimas de los insumos.
En el caso de arroz, result cue ]as cantidades 6ptimas de N, P y K no son muy sensitivas a cambios en los precious de nutrients ni del arroz.
COMO ALCANZAR CONCLUSIONS DIRIGIDAS HACIA EL INVESTIGATOR
El process de decidir cuaindo un investioador (6 un institute) tiene sufficient information sobre a1gun aspect de un problema que se esta' investigando es complejo y aqur no se puede Ilegar a tales conclusions. Sin embargo, cada investigador debe decidir s! los resultados de sus experiments son lo suficientetn..ente confiables para no tener que repetirlo, 6 si debe hacer a1gun ajuste y repetir el experiment. Es cierto cue en unos casos el investigator no puede alcanzar
ninguna conclusion apta para productores pero los resultados le siren como, aura para disefiar otro experiment. Esto ocurre en ensayos de fertilizaci6n, por ejemplo, cuando todo el rango de tratmmientos queda en etapa I de producci'n. Es imposible sacar conclusions 6tiles para los agricultores pero el investigator tiene buena base para disefiar otro, experiment.




56
Al estudiar los resultados del experiment en arroz en In Virginia se puede ver lo siguiente:
Primero, los resultados de In regression no son altamente significance (p, 2 de
0,58) aunque son suficientemente alta para dar recor.endaci ones prellminares a agricultores. Sin embargo, es probable que con un control experimental un Poco mejor se puede mejorar ]a precision. Tambie'n es possible mejorar In precision haciendo cambios en a1gunos trata.ientos.
La tendencia a demostrar etapa I en potasio nos indica que debe ser possible mejorar el estimation de ]a respuesta en forma cuadr5tica al usar un rango de tratamientos ma's estrecho. Con una dosis m'nima de 10 6 15 Kgs./ha. de K 20P toda In respuesta debe ser de forma cuadra'tica.
Por otro lado, debido a Que ]a dosis 6,ptima de P 2 0 5 y K 2 0 es 40 K9. de cada una, el investigator puede hacer mas sencillo su ensayo siquiente si en cada tratamiento varia 1nicamente nitro'geno, mientras mantiene fija In cantidad P 2 01 y K 2 0 en 40 Kg./Ha.
Al estudiar In respuesta c'bica a nitr6geno, se observe que In curva empieza a aumentar'despu6s de alcanzar 266 Kgs./Ha. de N. Esta tendencla tambign aparecio' en ]as graficas aue se trazaron al Iniciar el studio de los datos. Aunnue parezca que el 5ptimo cae dentro del rango de dosis experirrentales, el investiga-




57
dor debe pensar en estudiar ]a naturaleza de la respuesta con dosts mayors que ]as inclu'das en el experiment original. Podria, por ejemplo, diseMar un ensayo variando N de 300 a 400 Kilos con 40 de P2 0 5 y 40 de K 2 0. n podr'la disehar un experiment mas complejo y estudiar todas ]as interacciones con dosis m9s altas.




5A
VI DISEPOS EXPERIMENTALES PARA SUPERFICIES DE RESPUESTA
Son muchos los diseAos experimentales que se pueden usar para anglisis por regreslo'n y cuando haya datos disponibles de experiments ya hechos, la clase del diseno no es altamente important. Es decir, cue se puede hacer ann'lisis por regression de una variedad de diseflos aunque la precision varlara mucho entre ellos. Por to tanto no se deben botar datos Cnicamente por ser de un diseft no precisamente para superficies de respuesta.
Por otro ]ado at iniciar un proyecto con el fin de concern superficies de respuesta, se debe pensar en el uso de un diseflo experimental espectficamente orientado hacia esta clase de anglisis. Entre disePos aptos para superficies de respuesta hay unos que son muy eficientes.en el uso de recursos y que proven mas information por unidad experimental. Mgs adelante se discutirgn a1gunas caracterrsticas de disehos aptos para regresi6n y se detallarg uno que es muy eficiente.
A] discutir diseMos experimentales para analysis por regression, to important es el arreglo de los tratamientos y los niveles de las dosis, y no la ubicac16n de ]as unidades experimentales. En casi todos los casos las parcels estan ubicadas completamente a] azar; el uso de parcels divididas u otros diseflos similares es mrnimo




59
La clase de diseho ma's apta para cualcuier experiment y su tam0o, denende de una cantidad de factors, entre ellos el prop6sito del experiment, la disponibilidad de recursos investigations, el conocimiento actual ee la superficie,
y la precision requerlda en los resultados. Teniendo presented estos factors el Investicador debe decidir cugntas variables se van a estudiar, cugntos niveles de cada una, quo combinaci6n de estos se debe usar y cugntas veces se necesita replica cada trata.iento.
En general, para superficles de respuesta es mejor rebajar el n6M.ro do rer)licpciones y aumntar el n'mero de tratamientos debido a cue la Informaci6n adictonal obtenida con mayor number do replIcaciones disminuye m9s r4pidamente cue la Informacio'n obtenida con mayor number de tratamientos. Esto ocurre torque la superficie est' ajustada en base a todos los tratamientos n la vez. En este sentido, es mejor usar un dise6o con cuatro tratamientos y dos renlicaciones, cue dos tratamientos con cuatro replicaciones. Tambi4n es m5s ventajoso usar tres replicaciones de cuatro tratamientos cue cuatro replicaciones de tres tratarrientos.
FACTORIAL COMPLETE
Un disefio de uso cor..5n es el factorial t 1 x t 2 x xt n donde 1,2 ... n, represents las variables o factors independents y t I es el n6mero de tratamientos. En general t t 0 see cue el dise5o es de forma t k donde t.
1 2
es el n6mero de tratamientos y k el n6mero de factors.




Para ser apto Para superflcies de resnuesta cuadraticas t debe ser 3 6 m5s para cada k. Para una superficie c'bica, t 4. Los tratamlentos se deben distrlbuir uniformeftnte sobre el arem- de la superficte cue le interest a) investioador y el valor promedio de cada variable debe aproximar el nivel cue se prevee como el 6ptrmo, o m5s rentable.
Debido a cue tratamientos adiclonales ridden mAs aue renlitcaciones.Adicionales, generalmente es mejor utilizar un mrntmo de 4 tratamientos r,;lra cualnuier superficle. Para un experiment de dos factors (III y P digamos) cada renlicacio'n
2
require 4 = 16 parcels, sea 32 nareelas Para 2 renlfcaciones v 48 para 3 replicaclones.
Otra mantra de diseflar un experiment similar serra con un 5 2 factorial en el cual se replica 6nicamente el tratamiento central. Se rodrrm, por ejemplo, replicar el valor central cinco veces para obtener un estrmativo del error experimental y tener un total do parcels de 30.
La desventaja del diseNo factorial complete es cue require demasiadas unleades experimentales o parcels relative al n6mero de par5metros cue ve a estimar. Por eso ha sido modificado Para disminu'r el n6mero de parcels renueridas sin disminu'r ]a Informaci6n y hacerlo ast rrgs efficient en el uso de recursos Investigativos.




COMPUESTO ROTATION:
Un diseMo que esta' basado en el factorial pero es rr4s efficient en el uso de recursos para estudlar superficies de respuesta es el compuesto. El compuesto es un 2 k factorial suplementado con 2k + I tratamientos arrealados sime'tricamente alrededor del factorial. El centre es uno de los 2 k + I tratemientos y equivale al valor codificado de 0 Los tratamientos del 2 k factorial estgn puestos a distanclas de + I desde el centre. Los otros 2 k tratamientos estgn puestos a distancias de + all + a 2, + a k desde el centre en coordinedas -(+ a, 0' ...' 0), (0, + a, 0, 0) etc. Se nuede escoger ]a magnitude de "a"
de acuerdo con el fin del diseho.
Para estimar superficies de respuesta cuadr,":':icas, un disefio sumamente eficiente es el compuesto con a escogido para hacer el d1s0o rotation ( o sea un diseMo compuesto rotation), y con el tratamiento central'replicado suf1cientemente para dar una varianza uniform sobre toda la porc16n de la superficie de m9s
inter's a] investigator.
1) Este diseMo se basa en los siguientes:
a) Cochran, W.C. and Cox, C.M. Experimental Designs; John Wiley and Sons,
Inc. New York, 1967.
b) Heady, Earl 0. and Dillon, 'ohn L., Aoricultural Production Functions;
Iowa State University Press, Ames, G'-a, 1961.
c) Hildebrand, Peter E. Un D'setio Experimental para Mejorar Recomendacio
nes on Fertilizaci6n; I-n-fo-r.eNo. 21 Departamento de Economra AgR"c
la, del Instituto Colomblano Agropecuario, Regional 5, Palmira Febrero
1971.




62
Se logra un diserlo rotation si se escoge a para satisfacer a = k/4 donde k, como antes, es el n'mero de factors Independlentes en el experiment.
k a
1 1,189
2 1,414
3 1,682
4 21,000
k 2 k/ 4
Como en el caso del factorial, el centre del experiment debe aproximar el valor que se prevee como el 6ptimo para cada factor. Tambign, se debe inclurr en el rango del experiment el tratamiento con Que se alcanza el rendimiento ff'sico m5ximo. Si se denomina "G" como el tratamiento central con valor codificado de 0, y M co,mo el tratamiento Igual al valor codificado do 1, se puede calcular los tratamientos A, correspondiendo a] valor de "a" con la siguiente relac16n.
+ A = G + a (M G)
Diseho Compuesto Rotativo Para Un Factor Variable Para ilustrar lo anterior, se emrp 'oza con un diseMo sencillo en el cual so varre un solo factor. So supone que la aplicaci6n recomendada del factor es de 150




-63
kilos por hectarea y que se estima que el tratamlento cue loqrarra el rendimlento m~xImo es 200. Por lo tanto:
0 = G = 150
1 = M 200
+ A = 150 + 1,19 (200 150) = 150 + 59,5
A = 209,5 6 210
-A= 90,5 690
Adem~s, se necesita el valor correspondlente a 1, lo cual es G (M ( 6
sea 100. De acuerdo con lo anterior, ]as dosts del factor ser~n: 90,100, 150, 200, 210 kilos por hecta'rea.
Para obtener uniformidad de varianza en ]a sunerficfo entre 100 y 200 kilos por hect~rea se debe repltcar el valor central 4 veces. El disehio completo de 8 parcelas serra con dosis de 90,100, 150, 150, 150, 150, 200, y 210 kilos nor hect~rea. Con este disef~o hay 3 grados de libertad para estirnar el error experimental con el uso de las 4 replicaciones del tratarniento central y 5 grados de 11bertad para los valores do "t" y de "F" rara medir la slonificancla de la superficie cundra'tica.




64
Debldo a que las condiclones experimentales no son siempre tan buenas corfto las deseadas, se puede inciurr replicaciones de los tratarnientos no centrals para aumentar la conflabilidad del experiment. Se ha encontrado que dos replicaciones de los tratamientos no centrals son suficientes en la mayorra de las circunstanclas para dar buena confiabilidad a los resultados. Tal diseMo estarg complete con 12 parcels. Se podr*a analizar en base de ]as 12 observations, o se podrra calcular el promedio de los tratamientos no centrals y calcular la superficie on base de los 8 valores resu)tantes. El segundo sistema mantendr' ]a uniformidad de varianza entre, los valores de I y 1.
En adicio'n a las 12 parcels se debe inclu'r en el disco unos testigos (entre
2 y A) de utilidad para establecer un punto do reference para los c'lculos economy Icos. Pero los valores de los testigos no se deben usar para calcular ]a sunerficie de respuesta.,




- 65
TABLA 7.
DISEPO COMPUESTO ROTATION CON UN FACTOR VARIABLE
No. de Tratamientos
Parcel Kilos/Ha.
Codificado (ejemp-ioT
- A go
2 A 90
3 100
4 100
5 150
6 0 150
7 0 150
8 0 150
9 1 200
10 1 200
11 A 210
12 A 210
13 Testigo 0 3/
14 Testigo 0
15 Testigo 0
16 Testigo 0
I/ Este diseMo serving para un solo nitriente como nitr6geno o para un abono
complete como 10 30 10
2/ Mostrado en orden. Se debe ubicar todas las parcels a] azar pare el experiiento.
3/ El testing puede tener valor de 0, 5 puede ser cualquier otra cantidad que
es de uso com6n en el 5rea. Mo se debe user los testigos parn calcular ]a
superficie de respuesta.




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Disefio Compuesto Rotativo Para Dos Factores Variables
En un diseflo con dos factores (M y P por ejermplo). G y M1 ser~n valoros combinados de cada factor. Con dos factores, hay 8 tratamientos arreglados airededor del centro en un rectgngulo y una "estrella", FIgura 13. Los tratamientos del rect~ngulo estgn colocados en las coordenadas ( 1,1) lo cual representa M,
(1,) (-].1) y (-I, 1). Los tratamientos de la estralla se colocan en las coordenadas (A, 0), (-A,0), (0, A), y (0,-A). Se escogen los valores de
-1 y de + A en )a inisma forma del caso anterior. Es decir que n = 0; M= I G- (M -G) = -1; y + A = G+ a (M -G)
Utilizando como ejemplo para N, C = 200 y M 300, se tiene que con a =1.4114
A = 340
1= 300
0 -200
- 1 =100
- A 6o
Para el otro factor, P, se supone que G~ 100 y MII = 15. Luego:
A = 170
1 = 150
0 = 100
I = 50
-A= 30




67
Replicando los punts del rectangulo y de la estrella 2 veces, el tratamiento central 5 veces y con 2 a 5 parcels de testing, habrra de 23 a 26 parcels en.el expevimento complete arreglado de acuerdo con el cuadro siquiente.
Con este diseflo las 5 replicaciones del tratamiento central produced 4, grados de libertad para estimar el error experimental.
A] promediar las 16 observations no centrals y utilizando ]as 5 observaclones centrals habra (13 6) 7 qrados de libertad para los; valores de 'It" y de 'IF" para medir la significance de una superficie cuadrStica con la interaccl'n NP.




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TABLA 8.
DISEF'0 COMPUESTO ROTATIVO PARA DOS FACTORES VARIABLES
No. de 1/ T r at a m e n t o s
parcela Codificadas Kg/Ha.
N P N (ejemplo) P
1-1 100 50
2 --1100 50
3 1 -1 300 50
4* 1 -1 300 50
5 -1 1 100D 150
6 -1I 1 100 150
7 1 1 300 150
8 1 1 300 150
9 A 0 6o 100
10 A 0 60 100
11 A 0 340 100
12 A 0 340 100
13 0 A 200 30
14 0 A 200 30
15 0 A 200 170
16 0 A200 170
17 0 0 200 100
18 0 0 200 100
19 0 0 200 100
20 0 0 200 100
21 0 0 2002!1,
22 Testigo Testigo 0102
23 Testigo Thstigo 0 0
24 Testigo Testigo 0 0
25 Tostigo Testigo 0 0
26 Testigo Testigo 0 0
l/ tostrado on orden. Se debe escoger todas las parcelas al azar para el
expe r imen to.
2/ El testigo puede tener un valor de 0 0, 6 rnuede ser cualquler otra cominaclo'n de valores de uso comu'n en el area. Pero es importante que no se usen
1o! testigos para calcular la superficie de resnuesta.




- 69
Diseho Ccmpuesto Rotativo para Tres Factores Variables
No se puede demostrar gr6ficamente como es el arregio de tratamlentos con tres factors variables, sin embargo, es similar a] arreglo con dcs factors pero a = 1,68. Hay 14 punts de rect6nqulo y estrella y 6 replicaciones del valor central. Con ]as dos replicaciones de los 14 tratamientos no centrales y de 2 a 6 testigos, el diseMo costa de unas 36 a 40 parcels para el experiment complete .
Para un ejemplo, se utilizarclin N, P y K con los vnrios valores asr:
(G) (M)
-A 1 0 1 -A
N: 15 50 100 150 185
P: 25 75 150 225 275
K: 10 25 50 75 go




- 70
TABLA 9.
DISERO COMPUESTO ROTATIVO PARA TRES FACTORES VARIABLES
(EJemplo)
No. de r a t am i e n t os
Parcela 1/ Codificadas Kg./ha.
N P K N P K
1 -1 1 1 50 75 25
2 -1 1 1 50 75 25
3 1 1 -1 150 75 25
4 1 -1 -1 150 75 25
5 -1 1 -1 50 225 25
6 -1 1 -1 50 225 25
7 1 1 -1 150 225 25
8 1 1 1 150 225 25
9 1 1 1 50 75 75
10 -1 -1 1 50 75 75
11 1 -1 1 150 75 75
12 1 -1 1 150 75 75
13 -1 1 1 50 225 75
14 I 1 1 50 225 75
15 1 1 1 150 225 75
16 1 1 1 150 225 75
17 A 0 0 15 150 50
18 A 0 0 15 150 50
19 A 0 0 185 150 50
20 A 0 0 185 150 50
21 0 A 0 100 25 50
22 0 A 0 100 25 50
23 0 A 0 100 275 50
24 0 A 0 100 275 50
25 0 0 A 100 150 10
26 0 0 A 100 150 10
27 0 0 A 100 150 90
28 0 0 A 100 150 90
29 0 0 0 100 150 50
30 0 0 0 100 120 50
31 0 0 0 100 150 50
32 0 0 0 100 150 50
33 0 0 0 100 150 50
34 0 0 0 100 150 502/
35 Testigo ol o/
36 Testigo 0 0 0
37 Testigo 0 0 0
38 Testiao 0 0 0
39 Testigo 0 0 0
40 Testigo 0 0 0
1/ Mostrado en orden. Se debe ubicar todas las parcelas al azar para el experiment.
2/ El testigo puede tener un valor de 0- 0 0 6 puede ser cualqurer otro valor
de uso comdn en el area. Pero no se debe usar los testigos pare calcular la
superficle de respuesta.




Product
Product Producto
Lineal Cuadra'tice
ineal Cuadr9tice
Insumo Insumo
)a. lb.
Product Producto
Rarz Cuadrada Cubica
Insumo Insumo
Ic Id.
Product
Logaritmica
Insumo
e.
Figure I
Superficies De Respuesta de 2 Dimensiones




c
X.Px
t, r
1211. WRIMTMMMIUSIV Ymkl -WSZ MITI
Cantidad de Insumo
x
Utilidad
X-Vmaxima
u
dwy,;" Ag
Cantidad de Insumo
x
Figure 2 Funciones Do Costo, Ingreso y Utilfdad




7500
Arroz
7000
x
6500
6000
5500
Cbservacion Promedio
0 75 150 225 300
N- Kq/Ha. Fiqura 3 Respuesta De Arroz IR-22 A Nitr6qeno En Corinto, Cauca con P,,,O -K 0=40 Kg./Ha.
5 2




Y 6975 - - - - - - - --
A f.
6000 1
5350 4T - - - - -
A N1150
5000 I
0 150 300 N
10
dY
5
2. 0
75 225N
Figure 4i
Metodo 11 A Ojo" Parni S ~L 'p.~~e aespueste




7500 Arroz Kg./AHa.
7000
6500
6000 .....
5500
0 Y5 15b 225 360
Mitro'geno Kg./Ha. Fiqura 5 La Superficie Sacada "A' Ojo"




Kg. Arro{__ __150-40-40025-60-60
C
o (
225-60-2% a-j
225-20-600 +
600 1 90- 40-00
15o-0-140e225-20-20 N
00
LL <
550- -5__ 28~ 66
150-BO-40
4J
75-20 20 CL5640ea
500&- c
50 10o 150 200 250 300 350 400




Kg. Arroz
7000
M= 225 Kg.
6500 -o~
N= 150 Kg. /
'IV
I- N
S CD Z
55000 _)
mU (D
N= 75 Kg. -W >
2~ 0 5000
0 50 100 150 200 250 300 350 400
K. N +P 20 5+ KO2




ARROZ
700QO-.
6500 .....t
I2 5
6000.. 40
z
0 I..
co
0'4
5500 N 0N
5000 V 0.7
Iy =f (N P 05 + K 0)
0 10 150 200 250 3 .00 350 400
Kg. de N+ P 20 5 +




7500
ARROZ Kg/Ha IT
I 2
7000
6500.600.0
la
55qg-.,
5000
=4 Ell
0 75 150 225 300
Nltr6geno Kg/Ha.
FIGURE 9 Comparacl6n do una Superficle Lineal V una Curvillnea




y
266 N
dY
dN
266
2
d Y
2
dN 66
N
Fl GURA 10 La Superficie Cgbica para Nitr6 eno
con la Primern y Segunda Derivadas




Y,
45.7 p 2 0 5
dY
-dP
7.6 p 2 0 5
d 2 y
2
dp
p 2 0 5
FIGURE 11
La Superficle C'bica para F6sforo con la Primera y Segunda Derivadms




47 K 0
dy
dK
K 20
2
d Y
d
F I GURA 1 1 1 2 K 20
La Superficie Cabica pare Potaslo con
La Primera y )a Segunda Derivadas




FactorXI
A
AA 1
FactorX2
Figura 13 Dise~1o CcomDuesto Rotativo Para Dos Factores Variables