• TABLE OF CONTENTS
HIDE
 Front Cover
 Title Page
 Preface
 Table of Contents
 List of Tables
 Superficies de respuestas
 Estudios preliminares de los...
 Análisis de las respuestas
 Un ejemplo: Arroz en La Virginia,...
 Conclusiones del análisis...
 Diseños experimentales para superficies...
 Figuras






Title: Analisis agroeconomicos mediante superficies de respuesta
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Permanent Link: http://ufdc.ufl.edu/UF00054328/00001
 Material Information
Title: Analisis agroeconomicos mediante superficies de respuesta
Physical Description: Book
Language: Spanish
Creator: Hildebrand, Peter E.
Publisher: Ministerio de Agricultura y Ganadeiía
 Subjects
Subject: Caribbean   ( lcsh )
Farming   ( lcsh )
Agriculture   ( lcsh )
Farm life   ( lcsh )
Spatial Coverage: Caribbean
 Notes
Funding: Electronic resources created as part of a prototype UF Institutional Repository and Faculty Papers project by the University of Florida.
 Record Information
Bibliographic ID: UF00054328
Volume ID: VID00001
Source Institution: University of Florida
Holding Location: University of Florida
Rights Management: All rights reserved by the source institution and holding location.

Table of Contents
    Front Cover
        Front Cover
    Title Page
        Title Page
    Preface
        Preface 1
        Preface 2
    Table of Contents
        Table of Contents 1
        Table of Contents 2
    List of Tables
        List of Tables
    Superficies de respuestas
        Page 1
        Que son
            Page 1
        Formas manifestadas
            Page 2
        Por que calcularlas
            Page 3
            Page 4
            Page 5
            Page 6
        Fuentes de datos
            Page 7
        Metodos de calcular las superficies de respuesta
            Page 7
            "A Ojo"
                Page 8
                Page 9
                Page 10
                Page 11
            Regresión simple
                Page 12
                Page 13
                Page 14
                Page 15
            Regresión multiple
                Page 16
                Page 17
                Page 18
                Page 19
    Estudios preliminares de los datos
        Page 20
        Gráticos
            Page 20
            Page 21
            Page 22
            Page 23
        Sub-respuestas sencillas
            Page 24
        Escogiendo curvas para ensayar
            Page 25
            Page 26
            Page 27
    Análisis de las respuestas
        Page 28
        Escogiendo la forma final de la curva
            Page 28
            Valores y pruebas estadisticas
                Page 28
                Page 29
                Coeficiente de determinación
                    Page 30
                Varianza, error standard e intervalo de confianza
                    Page 31
                    Page 32
                Significancía de los coeficientes
                    Page 33
                    Page 34
                Significancía de la educación
                    Page 35
                Significancía de terminos adicionales
                    Page 36
                    Page 37
                    Page 38
            Información a priori y a posteriori
                Page 39
                Page 40
                Page 41
        Resumen de calculos estadísticos
            Page 42
            Page 43
            Page 44
    Un ejemplo: Arroz en La Virginia, Risaralda
        Page 45
        Page 46
        Page 47
        Page 48
        Page 49
        Page 50
        Page 51
        Page 52
    Conclusiones del análisis y recomendaciones
        Page 53
        Como alcanzar conclusiones dirigidas hacia el productor
            Page 53
            Page 54
        Como alcanzar conclusiones dirigídas hacia el investigador
            Page 55
            Page 56
            Page 57
    Diseños experimentales para superficies de respuesta
        Page 58
        Factorial completo
            Page 59
            Page 60
        Compuesto rotativo
            Page 61
            Diseño compuesto rotativo para un factor variable
                Page 62
                Page 63
                Page 64
                Page 65
            Diseño compuesto rotativo para dos factores variables
                Page 66
                Page 67
                Page 68
            Diseño compuesto rotativo para tres factores variables
                Page 69
                Page 70
    Figuras
        Page 71
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        Page 73
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Full Text

MINISTERIO DE AGRICULTURA Y GANADERIA
DIRECCION GENERAL DE ECONOMIA ABRIOLA. Y PUANIFICACION
DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACION AGRICOLA







ANALISIS AGROECONOMICOS
MEDIANTE SUPERFICIES
DE RESPUESTA

Por:
PETER E. HILDEBRAND


San Salvador, Septiembre de 1972.

San Salvador, Septiembre de 1972.























ANALISIS AGROECONOMICOS


MEDIANTE


SUPERFICIES DE RESPUESTA





Por

Peter E. HiIdebrand










San Salvador, El Salvador, C.A. Septiembre, 1972.










PRE FAC I


Este trabajo se prepar especialmente para servir coro manual o gura

tanto para estudiantes de investigacin como para profesionales bajo cuya

responsabilidad se desarrollen experimentos y anlisis para los cuales el

uso de superficies de respuesta es apropiado.


Con frecuencia se efectan anlisis de superficies de respuesta en los

que, debido a la falta de un anlisis completo de los datos disponibles, se

pierde o subutiliza mucha Informacin. Por esa razn se ha puesto en el pre-

sente trabajo cierto nfasis en la interpretacin de los resultados. Asimis-

mo, es frecuente el uso de diseos para superficies de respuesta que requieren

demasiados recursos para la obtencin de buena informacin. Con el fin de

mejorar la eficiencia en la utilizacin de esos recursos se presenta y se dis-

cute un diseo modelo.


Los ejemplos citados a lo largo del trabajo provienen de Colombia, don-

de el autor trabaj 4 aos con la Misin de la Universidad de Nebraska como

asesor del Instituto Colombiano Agropecuario (ICA). Se expresan agradeci-

mientos especiales al personal de los Programas Nacionales de Suelos y Arroz

del ICA, por el permiso de usar los datos, y a Alonso Gallo, Economista Agrr-

cola Regional del ICA en Palmira con quien el autor trabaj y quien ley el

manuscrito varias veces durante su preparacin e hizo valiosas sugerencias

para mejorar su contenido. Tambin se agradece a Rafael Samper(Ex Director

del Departaemnto de Economa Agr" .la, ICA), Oscar Gracias (Biometrista











del CENTA en El Salvador), Eduardo Pea, (Jefe del Departamento de Adminis-

tracin Agrrcola de la Direccin General de Economa Agrcola y Planifica-

cin del Ministerio de Agricultura y Ganadera de El Salvador), y a otros

quienes hicieron comentarios valiosos. Sin embargo el autor acepta toda la

responsabilidad sobre su contenido.


El autor actualmente es Asesor del Departamento de Administracin

Agrcola de la Direccin General de Economa Agrcola y Planificacin del

Ministerio de Agricultura y Ganaderra de El Salvador, mediante el Departa-

mento de Economa de Alimentos y Recursos de la Universidad de Florida ba-

jo un contrato con USAID, El Salvador.









TABLA DE CONTENIDO

Pgina

I Superficies de Respuesta 1

Que Son 1

Formas Manifestadas 2

Por Que Calcularlas? 3

Fuentes de Datos 7

Metodos de Calcular las Superficies de Respuesta 7

"A Ojo" 8

Regresin Simple 12

Regresi6n Mltiple 16

II Estudios Preliminares de los Datos 20

Grficos 20

Sub-Respuestas Sencillas 24

Escogiendo Curvas para Ensayar 25

III Anlisis de las Respuestas 28

Escogiendo la Forma Final de la Curva 28

Valores y Pruebas EstadFstlcas 28

Coeficiente de Determinacin 30

Varianza, Error Standard e Intervalo de
Confianza. 31

Significancia de los Coeficientes 33

Significancia de la Ecuacidn 35

Significancia de Terminos Adicionales 36













Informacin A Priori y A Posteriori 39

Resumen de Calculos Estadsticos 42

IV Un Ejemplo: Arroz en La Virginia, Risoralda 45

V Conclusiones del Anlisls y Recomendaciones 53

Como Alcanzar Conclusiones Dirigidas Hacia el Productor 53

Como Alcanzar Conclusiones Dirigidas Hacia el Investigador 55

VI Diseos Experimentales para Superficies de Respuesta 58

Factorial Completo 59

Compuesto Rotativo 61

Diseo Compuesto Rotativo para Un Factor
Variable 62

Diseo Compuesto Rotativo para Dos Factores
Variables 66

Diseo Compuesto Rotativo para Tres Factores
Variables 59



Figuras Pginas 71 en
adelante.











TABLAS
Pgina

Tabla 1 Resultados de un Experimento en Arroz IR-22
en Corinto (Cauca), Colombia 8

Tabla 2 Datos y Calculos para la Regresin de Una
Curva Cuadrtica 13

Tabla 3 No existe

Tabla 4 Resultados Experimentales en Arroz 22

Tabla 5 Ejemplo de Una Parte de Una Sbana
de Computadora 45

Tabla 6 Anlisis Economico de Varias Dosis 54

Tabla 7 Diseo Compuesto Rotativo con un Factor
Variable. 65

Tabla 8 Diseo Compuesto Rotativo para Dos
Factores Variables 68

Tabla 9 Diseo Compuesto Rotativo Para Tres
Factores Variables 70








SUPERFICIES DE RESPUESTA



Q U E S N ?


Una superficie de respuesta es una representacin de la relacin natural entre

varios niveles de uno o ms insumos y la cantidad de producto aue resulta de la

utilizacin de dicho insumo. Es decir, que la superficie de respuesta es un es-

timativo de la respuesta de un producto a diferentes cantidades de uno ms in-

gredientes utilizados en el proceso de produccin. La representacin puede ser,

frsica, tabular, grfica matemtica.


Una verdadera superficie con tres dimensiones (ancho, fondo y altura) resulta

en forma grfica nicamente cuando se utilizan dos insumos para obtener un pro-

ducto. Asr, la superficie puede semejarse a una colina con cantidades de un in-

sumo(a)medido hacia el norte, el otro insumo (b) hacia el oriente y cantidad

producida se representa por la altura. Cualquier punto en la superficie represen-

ta una combinacin nica de cantidades de insumo A, insumo B y producto.


En el caso ms sencillo de un solo insumo, la "superficie" grfica es una lrnea

recta una curva, y con tres insumos es imposible imaginrsela y trazarla, por

lo tanto solo se puede representar en forma matemtic.


La forma grfica o matemtica de una superficie de respuesta es un estimativo

artificial de un fenmeno real de la naturaleza. Tal superficie puede represen-

tar la respuesta de un cultivo al fertilizante de animales a un alimento, etc.








SUPERFICIES DE RESPUESTA



Q U E S N ?


Una superficie de respuesta es una representacin de la relacin natural entre

varios niveles de uno o ms insumos y la cantidad de producto aue resulta de la

utilizacin de dicho insumo. Es decir, que la superficie de respuesta es un es-

timativo de la respuesta de un producto a diferentes cantidades de uno ms in-

gredientes utilizados en el proceso de produccin. La representacin puede ser,

frsica, tabular, grfica matemtica.


Una verdadera superficie con tres dimensiones (ancho, fondo y altura) resulta

en forma grfica nicamente cuando se utilizan dos insumos para obtener un pro-

ducto. Asr, la superficie puede semejarse a una colina con cantidades de un in-

sumo(a)medido hacia el norte, el otro insumo (b) hacia el oriente y cantidad

producida se representa por la altura. Cualquier punto en la superficie represen-

ta una combinacin nica de cantidades de insumo A, insumo B y producto.


En el caso ms sencillo de un solo insumo, la "superficie" grfica es una lrnea

recta una curva, y con tres insumos es imposible imaginrsela y trazarla, por

lo tanto solo se puede representar en forma matemtic.


La forma grfica o matemtica de una superficie de respuesta es un estimativo

artificial de un fenmeno real de la naturaleza. Tal superficie puede represen-

tar la respuesta de un cultivo al fertilizante de animales a un alimento, etc.







-2-




Por ser un fenmeno natural y biolgico, la respuesta no es constante para una

dosis fija, sino que est sujeta a una varianza, generalmente al azar. La su-

perficie grfica 6 matemtica representa la tendencia central de la respuesta

real en trminos de magnitud (nivel) y de forma (curvatura).



F O RM AS MAN I FE S TA DAS


Para facilitar la descripcin de las formas de superficies, se usar el caso de

dos dimensiones con un insumo y un producto. Se representarn las superficies en

forma grfica y en forma matemtica con una ecuacin general. En forma matem-

tica decimos que rendimiento (Y) es una funcin de cantidad del insumo (X) sea

Y f (X).


La forma mas sencilla pero raras veces til es una linea recta, Figura la. Gene-

ralmente se encuentra una respuesta recta nicamente sobre cambios pequefos en

dosis del insumo.


Quizs la forma ms til es la curva parablica cuadrtica, Figura lb. Tal cur-

va representativa de la ley de rendimientos decrecientes puede alcanzar a una

cantidad mxima de produccin y luego mostrar el efecto de una baja en produccin

por el uso de dosis altas y txicas si este fenmeno se realiza. Otra forma simi-

lar a la anterior es la de rarz cuadrada, Figura lc. Esta forma tambin demuestra

un mximo pero el pico puede ser ms suave que el de la parbola.








-3-






En muchos casos se encuentran datos que representan superficies ms complica-

das que las que se puede representar con las formas anteriores. Si la respuesta

manifiesta todas las tres etapas de produccin, se necesita una forma como la

cbica, Figura ld. La cbica puede tener una parte que crece a una tasa crecien-

te (etapa I), otra parte creciente a una tasa decreciente (principalmente etapa

II), y finalmente una parte decreciente en la cual la cantidad producida dismi-

nuye con aumentos en la cantidad del insumo (etapa III).


Otra funcin til es la logarrtimica, Figura le, llamada forma Cobb-Douglas.

Esta clase de funcin no tiene mximo y por lo tanto posee utilidad por esta ca-

racterrstica (por ejemplo en herbicidas e insecticidas en donde nunca se ve una

disminucin en rendimiento). Tambin tiene la ventaja de ser ms fcil de calcu-

lar que las otras formas.


POR QU E CALCULAR LAS


El anlisis de datos experimentales por superficies de respuesta est relacio-

nado con el anlisis de varianza pero es ms eficiente en la descripcin de las

relaciones manifestadas y rinde ms informacin de aplicacin directa para el

investigador y el productor.


El mtodo de cuadrados mrnimos usados para calcular los valores estadrsticos de

las superficies por regresin se basa en todas las observaciones y en ste sen-








-4-






tido es eficiente en el uso de los datos. Por otro lado, con una funcin mate-

mtica, se puede Interpolar y predecir respuestas para dosis no inclutdas en el

diseRo. Hasta un punto tambin se puede extrapolar y estimar respuestas con do-

sis que caen por fuera del rango de los tratamientos del experimento. Es posi-

ble, tambin, hallar la cantidad del insumo combinaciones de insumos que re-

sultarra en la mxima produccin frsica, igualando a cero las primeras deriva-

das de las funciones de las superficies.


Quizs la razn ms til para calcular superficies de respuesta es la de faci-

litar el anlisis econmico. Cuando el investigador tiene la ecuacin de una

superficie de respuesta, puede calcular las dosis de Insumos ms rentables para el

productor comercial, para cualquier combinacin de precios de los insumos y el

producto.


Para hallar la dosis ptima desde el punto de vista econmico, se busca la can-

tidad del Insumo ( combinaci6n de insumos) que rinda la mxima utilidad para

el productor. Se utiliza U para designar utilidad, la cual es la diferencia en-

tre ingreso (1) y costo (C). Para un solo insumo:


S= Y' Py

C = X- Px + CF

U = I C = YvPy X-Px CF














Donde:


I = Ingreso total

Y = cantidad del producto (generalmente rendimiento por hectrea)

y es una funcin de X : Y = f (X)

Py = el precio del producto,

X = la cantidad del insumo.

Px = el precio del insumo

CF = costo fijo que incluye todos los dems costos no inclurdos

en X, el insumo que se ha considerado.

U = utilidad o ganancia neta


En la etapa II (la etapa de produccin racional 6 econmica) la curva de Y es

creciente pero a una tasa decreciente y por lo tanto la funcin de 1 tendr

la misma forma. Costo es una linea recta con un intercepto que equivale a CF.

La diferencia entre I y C, utilidad, ser una curva la cual tendr un valor

mximo donde la diferencia entre I y C es mayor. Es la cantidad de insumo que

resulta en este valor que se busca, Figura 2. Matemticamente se tiene lo si-

guiente:


U = Y- Py X-Px CF


dU dY
d X d P y Px ( Utilidad marginal )
d X d X






-6 -





Cuando la utilidad marginal equivale a cero, la curva de utilidad, U, se maximi-

za. Por consiguiente para buscar la cantidad de insumo que rinde la mxima uti-

lidad, se busco la relacin donde:


dvY
d X Py Px = y ,



d Y Px
dX Py


lo cual indica que para maximizar utilidad se debe igualar la derivada de la

funcin de la superficie de respuesta (producto marginal) a la relacin del pre-

cio del insumo al precio del producto (teniendo cuidado de que los precios de

los insumos y el producto se midan en las mismas unidades).


Para dos mas insumos la solucin es una extensin de la anterior:


U = Y.Py X1 Pxl X2'Px2 ... Xn.Px CF



donde X1 X2 ... X son los insumos incluidos como variables en la super-

ficie y las derivadas parciales son:


6 U 6 Y




X'-' = 6 X Py Px2 = 0

P 2




6 X 6 X Py Px = n
n n








-7-





La soiuci3n simultnea de todas las derivadas resulta en la combinacin ni-

ca de los n insumos que maximiza la utilidad para el productor. Mas adelante

se darn ejemplos del mitodo.


FU E N T E S DE DATO S


Datos para calcular superficies de respuesta se pueden generar mediante expe-

rimentos o muestras. Los datos ms comunes son los generados en experimentos y

por consiguiente son los que se utilizaron anqu. Existen diseos experimentales

orientados especialmente al anlisis por superficie de respuesta pero otros di-

seos pueden servir. Una caracterstica necesaria del diseo es que el nmero

de dosis para cada Insumo sea mayor que el nmero de coeficientes (bl) para aquel

insumo en la ecuacin. Por ejemplo, una curva cuadrtica con dos coeficientes

(b1 y b2) requiere un mnimo de tres dosis para cada insumo en el diseo. Una

caracterrstica deseable es que las dosis estn distribuidas metdicamente sobre

la superficie que se quiere estimar, aunque no es necesario que estn distribui-

das uniformemente sobre ella.


M E T O D 0 S D E C A L C U L A R L A S S U P E R F I C I E S D E

RES P U E ST A.


Hay varios mtodos para calcular superficies de respuesta, el ms factible, en

cada caso, depende de la cantidad de insumos, el nmero de tratamientos y el e-

quipo del cual dispone el investigador.








-7-





La soiuci3n simultnea de todas las derivadas resulta en la combinacin ni-

ca de los n insumos que maximiza la utilidad para el productor. Mas adelante

se darn ejemplos del mitodo.


FU E N T E S DE DATO S


Datos para calcular superficies de respuesta se pueden generar mediante expe-

rimentos o muestras. Los datos ms comunes son los generados en experimentos y

por consiguiente son los que se utilizaron anqu. Existen diseos experimentales

orientados especialmente al anlisis por superficie de respuesta pero otros di-

seos pueden servir. Una caracterstica necesaria del diseo es que el nmero

de dosis para cada Insumo sea mayor que el nmero de coeficientes (bl) para aquel

insumo en la ecuacin. Por ejemplo, una curva cuadrtica con dos coeficientes

(b1 y b2) requiere un mnimo de tres dosis para cada insumo en el diseo. Una

caracterrstica deseable es que las dosis estn distribuidas metdicamente sobre

la superficie que se quiere estimar, aunque no es necesario que estn distribui-

das uniformemente sobre ella.


M E T O D 0 S D E C A L C U L A R L A S S U P E R F I C I E S D E

RES P U E ST A.


Hay varios mtodos para calcular superficies de respuesta, el ms factible, en

cada caso, depende de la cantidad de insumos, el nmero de tratamientos y el e-

quipo del cual dispone el investigador.








-8-





Cuando el investigador trabaja con un solo insumo y pocos tratamientos,y desea

conocer rpidamente una superficie curvilinea de forma cuadrtica, el mtodo ms

simple es a ojo ". Con tres dosis, el mtodo es exacto pero con un aumento en

el nmero de dosis el mtodo disminuye en precisin.


En la Tabla 1 se presenta datos parciales de un experimento de fertilizacin.


Tabla 1. Resultados de un experimento en Arroz IR-22 en Corinto

(Cauca), Colombia.


(Kg/Ha.)
Re n d i m i e n t o.s

Tratamientos ReDlicaciones P r o m e d i o
N P205 K2o I II

0 40 40 5500 5200 5350

150 40 = 40 7000 6350 6675

300 40 40 6950 7000 6975;


F u e n t e: Programas Nacional de Arroz y Suelos !CA.


La cantidad de P2 05 y de K2 O se fija en 40 Kg/Ha. para cada uno; por lo tan-

to el nitrgeno es el nico insumo que est variando. El rendimiento de cada re-

plicacin y los valores medios estn colocados en forma grfica en la Figura 3.

El problema es el de estimar una funcin cuadrtica de la forma Y= a+b1 X+b2X2

representantiva de estos datos.














El mtodo est basado en el hecho de oue la primera derivada de una funcin cua-

drtica es una linea recta, (vease la Figura 4). Asociado con un incremento en

nitrgeno de O hasta 150 kilos por hectrea ( A N1 ) hay un incremento de 1325

kilos en el rendimiento promedio de arroz ( A Y1 )1/ La relacin A Y1/ A N1 e-

quivale a la oendiente de la recta uniendo los valores promedios de rendimien-

to para 0 y 150 Kg/Ha. de nitrgeno. TAmbin es la pendiente promedio de la cur-

va donde N = 75. Por lo tanto se puede colocar el valor de A Y1 /A N1 = 8,83

en la grfica inferior de la Figura 4, para N= 75.


En igual forma se puede calcular la pendiente para N = 225, que equivale a 2,00

( A Y2 / A N2 = 300/150 ) y colocar en la grfica Inferior.


La recta construida al unir los dos valores de A Y / A N es la funcin de la

pendiente o primera derivada de la funcin cuadrtica nue buscamos, ( A Y / A N =

dY/dN cuando N tiende a cero.


La pendiente de la derivada se calcula como antes: A (A Y/A N) / N = -6,83/150 =

-0,0455.


Sustituyendo valores conocidos para A Y/A N y para N, (A Y/A N ~, ,73 y N = 75

por ejemplo) se puede resolver para el valor de a el constante de la primera

derivada, ( a = 8,83 + 0,0455 (75) = 12,25). La ecuacin de la derivada entonces es:

1/ El simbolo A quiere decir "camio en". Por lo tanto, AN1 ouiere decir "cambio

en Nh ", etc.







10 -






dY tY
dN Y- = 12,25 = 0,0455 N


Se puede integrar una derivada para obtener la funcin principal, por lo tanto,

la integral de dY/ dN es Y =- dN, o sea

Y = 12,25 N 0,0228 N2 + C


donde Y es rendimiento y C es la constante de integracin. Se sabe que para N =

O el rendimiento promedio es 5350 y por lo tanto se puede ver que C = 5350.

Luego la ecuacin cuadrtica que se busca es:

= 5350 12,25 N 0,0228 N2


La ecuacin se traza junto con los valores u observaciones experimentales en la

Figura 5. Se ve que la ecuacin pasa por cada uno de los valores promedios y por

medio de este criterio es un buen estimativo de la respuesta del arroz al nitr-

geno.

A
Como se anot anteriormente, se puede poner la derivada de Y igual a cero y

resolverla para N y .sr conocer la cantidad de nitrgeno que maximizarfa el ren-

dimiento de arroz. En este caso la aplicacin de 270 kg/ha. de N resultara en

la produccin mxima por hectrea de arroz.


De acuerdo con esta superficie, la dosis ptima o mas rentable, de nitrqeno con

40 Kg. de K2 O, se halla igualando la derivada de la suoerficie a la relacin

del precio de N al precio del arroz, teniendo cuidado en que las unidades en que






11 -





se miden los precios son las mismas Para IR- 22 el precio es $ 2.80 por kilo

y el precio de N (fuente urea de 46% N) es $ 11.40 por kilo 1/ Por consiguien-

te,

d Y
d N 12,25 0.0455 = 4,40/ 2,80, y


N = 235


La dosis de N = 235 es la cantidad aue maximiza la utilidad del productor.


Sustituyendo los valores de N 235 y N= 270 en la funcin Y, hallamos que

equivale a 6970 para N = 235 y 6995 para N = 270. Aunque es posible producir

casi 7000 kg/ha. de arroz con una dosis de 270 40 40, no es rentable apli-

car mayor dosis que la de 235 40 40, debido a aue el costo de los 35 Kg/ha.

adicionales de nitrgeno necesarios para ::- --orun rendimiento de 6995 cuesta ms

que el valor del aumento en el producto (el costo marginal del insumo es mayor

que el valor del producto marginal).


Es posible usar el mtodo a ojo para calcular superficies de respuesta para

ms de tres valores del insumo, pero el resultado es menos preciso. En este caso

es necesario trazar una curva a ojo aue aproxime una cuadrtica que parezca

ser representativa de los datos. Usando tres puntos de la curva se puede hacer el

mismo clculo hecho arriba. Si la curva que resulta no es satisfactoria, se pue-

de empezar de nuevo con otra curva trazada a ojo !'. Obviamente este mtodo es-

t sujeto a error humano y los prejuicios del investigador. Pero con prctica

es --g":e l-rrar resultados aceptables. 2)
/ El gno $ es para pesos colombianos.
2) Para el investigador que quiere una utoridad para transformar sus datos en
esta forma, ver Karl Fox, intermediate Economic Statistics, John Wiley and
Sons, Inc. New York, 1978, p. 102.







12 -



Regres ion S imple


Con una calculadora de escritorio, es posible hacer los clculos requeridos pa-

ra obtener una superficie de respuesta curvilnea para un insumo con un mrnimo

de dificultades. Con dos o ms insumos se complica el proceso hacindose venta-

joso, sino necesario, el uso de un computador electrnico.


Por esta razn aqu se presenta nicamente el clculo de una curva para un so-

lo Insumo. Para tener una comparacin con el mtodo "a ojo" usaremos los mismos

datos presentado en la Tabla 1.


Para facilitar los calculos de la regresin hay que tabular los datos en una

forma diferente a la de la Tabla 1. Adems, para evitar nmeos demasiado grandes

en los clculos, es mejor codificar los datos. La codificacin ms apta en el

presente caso, se obtiene considerando nitrgeno en unidades de 100 kgs. y ren-

dimiento en toneladas; de esta manera, todos los valores de N y de Y caern

por dentro del rango de 0 a 10. Otro cambio necesario es el de establecer a N2= X2.

Los datos para la regresin se presentan en la Tabla 2. A continuacin se ven los

clculos requeridos para obtener la ecuacin.








13-

T a b 1 a 2 Datos y clculos para la regresin de una curva cuadrtica


X1 ( = N) X2 ( N2 )

0,0 0,0 5,50

0,0 0,0 5,20

1,5 2,25 7,00

1,5 2,25 6,35

3,0 9,0 6,95

S3,0 9,0 7,00
E= 9,0 22,5 38,00

X Y = 1,5 3,75 6,333

2 2
SX2 = 22,5 E X2 = 172,125

(EX1 /n = 13,5 -(EX2) 2/n = 84,375

2 2
Sx = 9,0 E x = 87,750



EX X2 = 60,75 X Y = 61,875


-(.X1 ) (X2)/n=33,75 -(Ex1) (rY )/n = 57,000
Ex1 x2 = 27,00 E xI y = 4,875



E X2 Y = 155,5875 E y2 = 243,9150

(EX2) (EY)/n=142,5000 -(rY )2n = 240,6667

E x2 y = 13,0875 y2 = 3,2483







14 -



Los clculos de la Tabla 2 se hacen asr (ntese las letras maysculas y mins-
culas):


EX ( 1,5)2 + (1,5)2 + (3,0)2 + (3,0)2 = 22,5


(E X1 )2/ = (9)2/6 = 13.5, y E x2 = E X (EX) 2n 6 sea

2
E x1 = 22.5 13.5 = 9.0. Los otros valores se hacen por el mismo mtodo.


La funcin que se quiere, tiene la forma general de Y a + b1 X1 + h2 X2, y por

lo tanto se necesita hallar a, b1 y b2


(E x2 2 ) (Y x1 y) ( x x2 ) (E x2 y)
bI
S:1) (E2 ( 2) ( Ex1 x2 )2



(E x12) (E x2 y) (E x1 x2 ) (E x )
b2
(E x12) (E x22) (Z x x2 ) 2


en el ejemplo nuestro:

( 87,750 ) ( 4,875 ) (27,00 ) ( 13,0875 )
b = = 1,225
(9,0) (87,750) ( 27,00) (27,00)

13,8375
b2 = = 0,228
2 60,75







15 -





Conociendo b1 y b2 se puede hallar el valor de a con la siguiente ecuacin:


Y = a + bl X1 + b2 X2


Sustituyendo, tenemos que:



6,333 = a + 1,225 (1,5) 0,228 (3,75)


de donde a = 5,350


La ecuacin completa, recordando que:


X1 = N y X2 = N2, es:


A
Y = 5,350 + 1,225 N 0,228 2



Esta es la misma ecuacin que se fij "a ojo" usando los valores promedios

de las replicaciones, pero en sta ecuacin debido a la codificacin, la magni-

tud de los nmeros es diferente. Aqur N se mide en unidades de 100 kilos y Y

en toneladas: la mxima produccin resulta con N = 2,7; tambin, la produccin

mxima es Y = 6,99 toneladas.


Debido a que se usan onidades de 100 Kgs. de N y toneladas de arroz, es nece-

sario tambin, cambiar los precios de acuerdo a estas unidades para resolver

el ptimo. Si un kilogramo de M cuesta $ 4,40, entonces el "precio" de 100 kgs.

es $ 440.oo.







16 -






Con arroz a $ 2,80 por ka. el precio por tonelada es $ 2.800 Por lo tanto la

produccin ptima se encuentra de la siguiente manera:



d Y = 1,225 0,456 N = 40/2800
d 11


donde N = 2,34 unidades o sea 234 Kg.


Sustituyendo varios valores de N y N2 en la ecuacin se puede obtener suficien-

tes puntos para trazar una curva suave, Figura 5. Cualouier punto de la curva

representa la respuesta esperada para la cantidad de N sealada en eje horizontal.


La discusin sobre la prueba de "bondad de ajuste" de la curva ou tan buena

es la curva respecto a los datos se dejara para la seccin III, "Anlisis de

las Respuestas".


Regresi n M lt ple


La regresin sencilla se utiliza cuando hay un solo insumo variable, por e-

Jemplo: N P205 una cantidad de abono completo tal como 10 30 10. La

regresin mltiple se necesita para analizar respuestas de dos o ms insumos a

la vez. La teora de regresin mltiple es igual a la de regresin sencilla, pe-

ro los clculos requeridos se complican de tal forma que es difrcil realizarlos

con una calculadora de escritorio. Por lo tanto, la mayora de los anlisis por

regresin mltiple requieren la dspnlibg'.'ad de una computadora electrnica.

Por buena fortuna estas mquinas ahora estn disponibles para la mayora de los





17 -






investigadores que realizan anlisis por superficies de respuesta.


Debido a aue las facilidades de equipo y personal de cada institucin varan,

no se presentan aqur los requisitos para la codificacin de los datos para re-

gresin mltiple. Estos se pueden obtener del personal operador de la computado-

ra. Las sbanas de resultados tambin varran pero todas tienen formato similar y

el personal operador de la computadora lo podr interpretar para el investicador.

Lo que se presenta aquf es la forma general de la superficie; ( en la Secc6in III

se presenta un ejemplo).


Las superficies mltiples pueden representar cualquier forma (lineal, cuadrtica,

cbica, etc.) que desee el investigador. En una misma ecuacin un insumo puede

dar respuesta cuadrtica y otro insumo respuesta cbica.


Lo que ms distingue a las superficies mltiples de las sencillas es la posible

interaccin entre los varios insumos. Una interaccin existe cuando la cantidad

de un insumo usado influye en la produccin resultante del otro ( u otros) insu-

mos. Matemticamente la interaccin se representa por trminos en la ecuacin

tales como: NP, N2P, NP2, etc. El primer trmino, NP, indica que N tiene un efec-

to lineal en P y viceversa, P tiene interaccin lineal con N. El segundo trmi-
2 2
no N P indica que el efecto de P en el trmino cuadrtico 2N es lineal, pero

el efecto de N en P es culvilineal. En general es suficiente usar el trmino de

interaccin sencillo sea NP.


El siguiente ejemplo servir para demostrar el efecto del trmino de interaccin

entre dos insumos N y P dada la funcin,


Y = a+ b1 N + b2 P b3 N2 b P2 + b NP







18 -





Tenemos que el signo positivo para b5 indica que la interaccin entre Ny P

es positiva. El valor magnitud de b5 representa el efecto absoluto de tal

Interaccin. Pensando en el efecto de P en la productividad de N, poderos rees-

cribir la ecuacin asf:


Y = (a + b2 P bp P2) + (b1 + b P) H- b N2


Se ve en esta forma el efecto que tiene P en la funcin de N. Se puede es-

cribir la ecuacin anterior asr:


Y = A + B b3 N2


donde A = ( a+ b2 P b P2 ) y B = ( bl + b5 P ) y en esta manera ver qu

cambios en P resultan en cambios en el nivel de la curva manifestados por el

intercepto A y en la pendiente para cualquier valor de N debido al efecto de P.


Fuera de lo anterior, se puede ver que P tiene un efecto en la cantidad de N oue

resulta en produccin mxima y produccin ptima cuando se estudia la derivada.



6- = bl + b P -2b N
6 N 1 5 3


Por lo tanto, la cantidad ptima de N depende de la cantidad de P y la magnf-

tud y direccin de la Interaccin representadas por (b5 ).








19 -






Con tres insumos variables, hay tres posibles interacciones sencillas. Conside-

rando N, P y K, por ejemplo, las posibles interacciones son NP, NK y PK. Una

parte del anlisis de la superficie mltiple es determinar si hay interaccio-

nes entre los insumos si la respuesta de cada uno es independiente de los de-

mas.








20 -


II ESTUDIOS PRELIMINARES DE LOS DATOS



Es probable que la parte del anlisis que le r:nde ms provecho al investigador

es la famil'urizaci6n con los datos. Los clculos estadrsticos no son magos;

ellos aislados raras veces producen resultados aceptables. Por eso, se debe

pensar en la estadrstica como una herramienta del investigador y no como la me-

ta de sus labores. En este sentido es preciso que el investigador conozca sus

datos para que las conclusiones sean apropiadas. 1)



GRAFI CAS


Fuera de estar familiarizado el investigador con el experimento mismo, la mejor

manera de conocer los datos es verlos en forma grfica. Como es evidente al es-

tudiar la Figura 3, es posible formular ideas de? comportamiento de los facto-

res al ver los datos en esta forma. Es cierto, que no siempre se pueden ver re-

laciones porque los datos no muestran lo que no existe. Si no hay una relacin

entre el par de variables (la dependiente y la Independiente) no se ver una

relacin evidente en la grfica. Por otro lado, de vez en cuando es posible

crear relaciones evidentes "a ojo", que en realidad no existen; sin embargo la

primera etapa de un buen anlisis de datos experimentales es colocarlos en una

6 mas grficas.

1) Ver Karl A. Fox, cp. cit. p 486








20 -


II ESTUDIOS PRELIMINARES DE LOS DATOS



Es probable que la parte del anlisis que le r:nde ms provecho al investigador

es la famil'urizaci6n con los datos. Los clculos estadrsticos no son magos;

ellos aislados raras veces producen resultados aceptables. Por eso, se debe

pensar en la estadrstica como una herramienta del investigador y no como la me-

ta de sus labores. En este sentido es preciso que el investigador conozca sus

datos para que las conclusiones sean apropiadas. 1)



GRAFI CAS


Fuera de estar familiarizado el investigador con el experimento mismo, la mejor

manera de conocer los datos es verlos en forma grfica. Como es evidente al es-

tudiar la Figura 3, es posible formular ideas de? comportamiento de los facto-

res al ver los datos en esta forma. Es cierto, que no siempre se pueden ver re-

laciones porque los datos no muestran lo que no existe. Si no hay una relacin

entre el par de variables (la dependiente y la Independiente) no se ver una

relacin evidente en la grfica. Por otro lado, de vez en cuando es posible

crear relaciones evidentes "a ojo", que en realidad no existen; sin embargo la

primera etapa de un buen anlisis de datos experimentales es colocarlos en una

6 mas grficas.

1) Ver Karl A. Fox, cp. cit. p 486







-21 -






Es fcil colocar y estudiar relaciones entre solo dos variables, pero es ms

complicado cuando el nmero de variables (producto ms insumos) excede a dos.

Una manera fcil y til es sumar las variables independientes en una unidad

comun. Es decir, con fertilizantes se puede sacar la suma de N + P O0- + K2 0

y colocar sta suma contra rendimiento para cada tratamiento como se ha hecho

en la Figura 6 para los datos de la Tabla 4.-


Adems de colocar los puntos, es til anotar la cantidad de cada elemento oue

result en el valor total.







22 -



T a b 1 a 4 Resultados experimentales en arroz kg/ha.


Tratm.ea : n. Tr'e s R'i de nutrientes Feplicaciones Promedio

N P K N +P2 05 + K20 Y Y2


75 20- 20 115 4970 5240 5105

75 20- 60 155 5900 5100 5500

75 60- 20 155 6450 4820 5635

75 60- 60 195 6100 4250 5175

225 22- 20 265 5330 5810 5870

225 20- 60 305 5500 6850 6i75

225 60- 20 305 6100 6310 6205

225 60- o6 345 7510 5950 6730

150 40- 40 230 7430 5970 6700

0 40- 40 80 4440 4500 4070

300 40- 40 380 6950 6800 6875

150 J- 40 150 5400 6450 5925

150 80- 40 270 5670 5280 5475

150 40- O 192 6090 5950 6020

150 40- 80 ?70 6100 5800 5950




1) Fuente:

Programa Nacional de Arroz. Datos de la Viriginia (Risaralda) para IR-22







23 -





En la Figura 6 aparecen varias relaciones. Primero se observa que el rendimiento

aumenta con aumentos en la suma de N, P2 05 y K2 0. Segundo, se ve que hay po-

cas diferencias entre respuestas a P2 05 y K2 0. Ver, por ejemplo los siguien-

tes pares de datos 150 40 0 con 150 0-40, 75 60 20 con 75 20 60,

y 225 60 20 con 225 20 60.


Por regresin sencilla, se puede calcular la respuesta Y = f (N + P2 05 + K2 0),

para tener una idea de la posible respuesta a dosis mas altas aue las inclurdas

en el experimento (con todo cuidado al sacar conclusiones por extrapolacin 6

por fuera del rango de los datos ). La respuesta 6 funcin para estos datos es

la siguiente, donde X equivale a la suma N + P2 05 + K2 0 en kg/ha.



Y = 4.016 + 10,2012 X 0,0085 X2


La funcin tiene un mximo de 7.077, donde X es 600 Kg. de nutr"entes. Por supues-

to, es absurdo conclur que este mximo es preciso, pero sr nos indica con toda

probabilidad que no hemos alcanzado a la cantidad de nutrientes que resultarta

en produccin mxima. Esta funcin tampoco da informacin sobre cual combina-

cin de N, P y K sera la mejor. Sin embargo, se puede conclur que es necesario

conocer el efecto de dosis ms altas en este cultivo para tener toda la infor-

macin del caso.







24 -




S U B -R E S P U E S T A S S E N C IL L A S


Es posible tambin en la forma grfica de la Figura 6, ver graficar unas sub-

respuestas sencillas. Considerando, como se observ anteriormente, aue hay po-

ca diferencia entre la respuesta a P y a K, hay tres niveles distintos de P2

05 + K2 0 con N equivale a 75 kg/ha. El valor promedio para el tratamiento
75 20- 20 eauivale a 5.105; el promedio para 75 60 20 y 75 20 60 es

5.562; y el promedio para 75 60 60 es 5.175. Con estos tres valores se

puede trazar la curva de respuesta a P2 05 + K2 0 con N fijo a 75, Figura 7.

De igual manera se pueden graficar las curvas de Y = f (P2 05 + K20 N = 150) y

Y = f (P2 5 + K2 O|N = 225).


En la Figura 8 se ven las tres curvas cuando se varia N, con P2 05 + K2 O en 3

niveles.


Estudiando estas curvas se puede ver con facilidad la interaccin entre N, y P2

05 + K2 0. En la figura 8, se puede observar por ejemplo, que con cantidades
bajas de P2 05 + K2 0 (40kg.) la respuesta a nitrgeno es relativamente baja y

dentro del rango de los datos experimentales, se ven las etapas de produccin

II y III. Con 80 Kg. de P2 05 + K2 O, la respuesta es ms fuerte, y para alcan-

zar el mximo se requiere el uso de ms nitrgeno. Pero con una dosis alta

(120 Kg de P2 0 + K2 0), la respuesta a nitrgeno aueda en la etana I, dentro

del rango del experimento. Otra vez se ve la evidencia de que se debe experimen-

tar con dosis ms altas.








25 -




ESCOGIENDO CURVAS PARA ENSAYAR


Del estudio de las Figuras 6 a 8 se puede escoger con inteligencia la clase de

respuesta que se va a calcular con la computadora. Por ejemplo, es obvio aue

con dosis relativamente bajas se necesitan funciones que muestren valores mxi-

mos, sea curvas que suben y bajan tales como la cuadrtica la de rarz cua-

drada. Por otro lado, para dosis altas se requiere una funcin que queda en

etapa 1, tales como la Cobb Douglas una cuadrtica con mrnimo en lugar de

mximo. Pero para demostrar todas las curvaturas con una sola ecuacin es ne-

cesario una funcin ms complicada como la cbica.


Fuera de la forma de las curvas hay que pensar en posibles Interacciones. Pa-

rece que entre P y K, hay poca interaccin, pero N tiene interaccin con P 6

con K, con los dos.


Por lo tanto, parece que hay la necesidad de pedir ecuaciones cbicas con inte-

racciones. Pero como es muy dificil trabajar con las cbicas, siempre se debe

pedir cuadrticas a la vez. Si las cbicas no dan resultado significativamente

diferente a las cuadrticas, puede ser ms aconsejable usar las cuadrtlcas pa-

ra el anlisls final.


Debido a que se desconoce de ante mano cual de las posibles clases de funciones

va a ser la mejor, se deben pedir todas las combinaciones posibles a la vez para

comparar y asegurar asr de que la ms indicada est dentro del grupo calculado.

Por lo tanto, se sugiere para los datos de arroz, solicitar las siguientes ecua-

ciones:







26 -




Y a + b1 N + b2P + b K + b N2 + b5 p2 + b6 K2



Y = Y1 + b NP



Y3 Y1 + b8 PK



Y4 = Y + b9 NK



Y = Y1 + b NP + b8 PK



6 = Y1 + b7 NP + b NK



Y7 = Y1 + b PK + b NK



Y = Y1 + b7 NP + b8 PK + b NK



Y a Y16 = las ecuaciones Y1 a Y8 con la adicin de b10 N



en cada una.


Y17 a Y24 = las ecuaciones Y1 a Yg con la adicin de bl P en cada una.



Y25 a Y32 = las ecuaciones Y1 a Y8 con la adicin de b12 K en cada una.







27 -






Es muy probable que una de las anteriores ecuaciones describa bien las relacio-

nes de los datos del ensayo. Puede ser que no se espere respuestas en etapa I

sino nicamente en etapa II y III por lo que solo hubiera sido necesario pedir

las primeras 8 ecuaciones. Por otro lado, es posible que existan relaciones c-

bicas que no se vieron al estudiar los datos y por eso es mejor pedir las cbi-

cas para estar ms seguros.








28 -




III ANALISIS DE LAS RESPUESTAS


Al recibir las sbanas de resultados de la computadora, el Investigador est

listo para iniciar las etapas finales del anlisis. Estas etapas incluyen la de

escoger la forma final de la respuesta y la de sacar conclusiones tanto fsicas

como econmicas.


ESCOGIENDO LA FORMA FINAL DE LA CURVA


Armado con los distintos valores y pruebas estadsticas y su conocimiento y ex-

periencia, el Investigador est listo para escoger la forma de respuesta que es

ms representativa del fenmeno que est estudiando. Al principio se discutirn

algunas pruebas estadsticas y luego los otros factores (informacin a priori y

a posteriori) que se deben considerar en el proceso de escoger la superficie

ms adecuada.


Valores y pruebas estadsticas


Sin ser altamente tcnico, se puede decir que las pruebas estadsticas se basan

en tres medidas de variacin en la variable dependiente (generalmente rendimien-

to):


1) La variacin "explicada" por la regresin,2) la variacin no explicada,

y 3) la variacin total la suma de 1 y 2. Si se est estimando una superficie

relacionando la respuesta de atroz a nitrgeno se puede describir as:

Y = f (NIP2 05 K2 O, agua, suelo, etc.) En la funcin, haban trminos relacio-

nando el rendimiento a cantidades de N y ser residual o error:








28 -




III ANALISIS DE LAS RESPUESTAS


Al recibir las sbanas de resultados de la computadora, el Investigador est

listo para iniciar las etapas finales del anlisis. Estas etapas incluyen la de

escoger la forma final de la respuesta y la de sacar conclusiones tanto fsicas

como econmicas.


ESCOGIENDO LA FORMA FINAL DE LA CURVA


Armado con los distintos valores y pruebas estadsticas y su conocimiento y ex-

periencia, el Investigador est listo para escoger la forma de respuesta que es

ms representativa del fenmeno que est estudiando. Al principio se discutirn

algunas pruebas estadsticas y luego los otros factores (informacin a priori y

a posteriori) que se deben considerar en el proceso de escoger la superficie

ms adecuada.


Valores y pruebas estadsticas


Sin ser altamente tcnico, se puede decir que las pruebas estadsticas se basan

en tres medidas de variacin en la variable dependiente (generalmente rendimien-

to):


1) La variacin "explicada" por la regresin,2) la variacin no explicada,

y 3) la variacin total la suma de 1 y 2. Si se est estimando una superficie

relacionando la respuesta de atroz a nitrgeno se puede describir as:

Y = f (NIP2 05 K2 O, agua, suelo, etc.) En la funcin, haban trminos relacio-

nando el rendimiento a cantidades de N y ser residual o error:








28 -




III ANALISIS DE LAS RESPUESTAS


Al recibir las sbanas de resultados de la computadora, el Investigador est

listo para iniciar las etapas finales del anlisis. Estas etapas incluyen la de

escoger la forma final de la respuesta y la de sacar conclusiones tanto fsicas

como econmicas.


ESCOGIENDO LA FORMA FINAL DE LA CURVA


Armado con los distintos valores y pruebas estadsticas y su conocimiento y ex-

periencia, el Investigador est listo para escoger la forma de respuesta que es

ms representativa del fenmeno que est estudiando. Al principio se discutirn

algunas pruebas estadsticas y luego los otros factores (informacin a priori y

a posteriori) que se deben considerar en el proceso de escoger la superficie

ms adecuada.


Valores y pruebas estadsticas


Sin ser altamente tcnico, se puede decir que las pruebas estadsticas se basan

en tres medidas de variacin en la variable dependiente (generalmente rendimien-

to):


1) La variacin "explicada" por la regresin,2) la variacin no explicada,

y 3) la variacin total la suma de 1 y 2. Si se est estimando una superficie

relacionando la respuesta de atroz a nitrgeno se puede describir as:

Y = f (NIP2 05 K2 O, agua, suelo, etc.) En la funcin, haban trminos relacio-

nando el rendimiento a cantidades de N y ser residual o error:







29 -






Y = a + b1 N + b2 N2 + e


Incluidos en el trmino de error, (e), estn los errores debido al no controlar

bien las cantidades de N, P2 05, K20, riego, etc., y otros factores tales como

Incidencias de plagas que afectan a unas parcelas ms que a otras. Tambin incluf-

do en este tCrmino est el error que resulta cuando la forma de la curva no des-

cribe perfectamente la curvatura del fenmeno biolgico. En resumen la variacin

"explicada" est compuesta por a + b1 N + b2 N2 y la variacin no explicada es-

t contenida en el trmino e .


La variacin total del rendimiento se mide por medio de la suma de cuadrados de

las desviaciones de rendimiento del promedio, lo cual equivale a E y2. La varia-
A2 k
cin explicada variacin debida a regresin es E y12 E {by (E xi y )



Variacin no explicada, o sea la suma de cuadrados de las desviaciones de la re-
A 2 A2
gresin, E (Y Y ) equivale a la diferencia E y y12



Para presentar estas medidas, se utiliza como ejemplo la regresin sencilla de

arroz en Corinto, Cauca. Luego se presentar un ejemplo de regresin mltiple

basado en un experimento en la Virginia, Risaralda.







30 -



Coe f i c i e n t e de Determ nac i n


Una de las medidas estadsticas de regresin ms conocidas es la del coeficiente

de determinacin o bondad de ajuste R Este coeficiente es la proporcin de la

variacin explicada por la variacin total. La variacin explicada para una fun-

cin cuadrtica sencilla es:


E y12 2 = bl E x1 y + b2 E x2


sea, para nuestro ejemplo:


E I122 = 1, 225 ( 4,875 ) 0,228 (13,0875 ) = 2,9879


Variacin total: E y = 3,2483.Luego


2 b1 E x1 y + b2 E x2 y 2,9879
R.= .- = 0,920
E y2 3,2483


Esto quiere decir que el 92% del cambio en el rendimlento del producto al aadir

nitrgeno, se explica por la superficie de respuesta representada por la ecuacin.



S= 5.350 + 1,225 N 0,228 N2


Como regla general (no precisa) se espera un valor de R2 mayor oue 0,50 sea

que la superficie calculada explica por lo menos la mitad de la variacin en

los datos. Un valor de 0,92 se considera como bastante alto para datos de esta








31 -





clase. El valor mximo de R2 por supuesto, es 1,0. El R2 viene impreso en la

sbana de la computadora.


Varianza, error standard e intervalo de confianza


El error standard del estimativo de la reoresin es la rarz cuadrada de la va-

rianza oue es la variacin no explicada, ajustada por los grados de libertad.

La varianza de la regresin es:


S2 2 2
S 2 E y2 122
y.12 =
n -k -1


donde k equivale al numero de coeficientes (b1 y b2 por ejemplo):



S122 3,2483 2,9879 = 0,0868
2 2 1
6-2-1


La varianza generalmente se imprime en la sbana de la computadora.


El error standard es la rarz cuadrada de la varianza.


S
Y.12 = VO,786i 3 = 0,2962 .


Este valor mide la presicin con la cual la rearesin mide el valor Dromedio

de rendimiento, 7 = 6,333. El intervalo de confianza de Y se puede calcular asr:








32 -





+ ta ( sy / n )



donde ta es el valor tabulado de la prueba de "t" para un nivel de confianza

a y con n k grados de libertad.


Para el ejemplo y con 95% de confianza (a= 0,05 y con 6 2 = 4 arados de

libertad), el intervalo de confianza es:


6,333 + (2,776 ) (0,29o62) /2,45


6,333 + 0,334


Este clculo indica aue se puede confiar con 95% de seguridad que el verdadero

promedio de rendimiento para los mismos tratamientos, esta inclurdo entre

6,000 y 6,667 ton/ha. Suponiendo que los valores de b, y b son ciertos, se

puede trazar una curva por encima de la recresin y otra por debajo, a dis-

tancias de 334 kg. y confiar oue la verdadera superficie de respuesta est in lur-

da en este rango. /


Sin embargo, es de importante reconocer que a menos nue so repita el exnerimento

la superficie aaur calculada es el mejor estimativo existente de la verdadera

superficie de respuesta.








33-



Significancia de los coeficientes


En adicin al error en medir el nivel de la superficie, se puede tener errores

al medir la pendiente y la curvatura, representados por los valores de bl b2

etc. La prueba para determinar si los valores de los b. individuales son distin-

tos a cero es la prueba de "t". Si el valor de "t" no es suficiente para con-

fiar en aue el valor de un b es distinto a cero (puede ser Positiva 6 neqativa)

se supone que el rendimiento no depende del trmino que corresponde al b. Es-

to resulta debido a que si el valor de b1 es cero, este trmino desaparece de

la funcin.


El valor calculado de "t" para cada coeficiente b. estar imoreso en la sbana

de la computadora. Para trabajos hechos a mano, el valor calculado de "t" es el

siguiente:


t = b / s 2 / (E x ) (Ex2 ) (E 1 x 2)



t, = 1,225 / 0,29462 /87,75 / 60,75







t = b / y12 E2 / (E ) (E x x2
12 1 (E 1 2 x1








34 -





t2 = 0.228 / 0,29462 / 9,0 / 60,75


t2 = 2,0160



En un cuadro para valores de "t" de una sola cola, y para n -k- 1 = 6- 2 1 = 3

grados de libertad, se ve que t 0,025= 3,182, t,05 = 2,33 y t,10 1,638. Por

lo tanto, b1 es significante al nivel de 2.5% y b2 al nivel de 10%. Se puede usar

una prueba de "t" de una soia cola para poder predecir el signo de los coeficien-

tes. Cuando se desconoce a priori el signo, hay que usar una prueba de dos colas

porque el coeficiente puede ser mayor menor aue cero. En general una prueba de

dos colas se necesita para los coeficientes de los trminos de interaccin.


El intervalo de confianza para dos coeficientes b. es una funcin de t y Sy
i a y. 12.

Es obvio que diferentes valores de los bi por dentro del intervalo de confianza

pueden crear superficies de respuesta distintas. Debido a errores en estimar los

coeficientes bh, las estimaciones de la s'perficie ms lejos del valor oromedio

del insumo tienen errores ms grandes que estimaciones cerca al promedio.


El error del estimativo de los coeficientes ms el error de estimar el nivel de

la regresin crean el intervalo de confianza para la regresin.












)








35 -



Significancia de la Ecuacin


La prueba de "t" se utiliza oara determinar la significancia de cada uno de los

coeficientes individualmente. Se puede aceptar 6 rechazar cada coeficiente de

acuerdo con dicha prueba. La prueba de "F" es una nrueba de la significancia de

la ecuacin completa, y a la vez es una prueba de todos los coeficientes combinados.

Para unas computadoras las sbanas tienen el valor de F calculado impreso, y en

otra nicamente suministran la informacin para calcularlo.


Por ejemplo:

A 2 k
E Y12"/ k
F, =
F y12 2



F = 2,979/ 2 17.2114
0,0868


El valor de "F" tabulado para (k) y (n- k 1) 6 2 y 3 arados de libertad es

16,04 para el nivel 0,025 de probabilidad, o sea que la superficie entera cal-

culada por represin es significante a un alto nivel.


En resumen parcial, hemos calculado los sipuientes valores para determinar la

signlficancia de nuestra ecuacin:








36 -




R2 = 0.920

t1 = 3,459 (2,5 % )


t2 = 2.0160 (10% )


FC = 17.2114 (2.5%)



En general, los valores y niveles de significancia son altos, lo que quiere de-

cir que la superficie calculada representa muy bien la real. Por lo tanto, pro-

bablemente no es necesario hacer otros calculos para esta superficie. Sin embar-

go, para demostrar el uso de otro anlisis, se usar la misma ecuacin.


Significancia de trminos adicionales


En unos casos es lgico pensar si uno u otro de los trminos contribuye a la

significancia total de la regresin. Una medida es el valor de "t" para el coe-

ficiente del trmino. Otra prueba es la de "F" calculada en base al anlisis de

varianza .


El mtodo para la prueba da "F" es dividir la variacin total (E y2) en tres

partes: 1) la parte explicada por la ecuacin sin el trmino adicional, 2) el

aumento en la variacin explicada debido al trmino adicional y 3) el error o

residual.

k- 1
La parte explicada sin el adicional es: E (b. Ex. y ) y el aumento debido
i=l a
al trmino adicional es:








37 -





K K-1
E (b. E xi y ) E (b t x y ) donde
i= 1 i = 1


el trmino k es el adicional. Debido a la inclusin de diferentes trminos en

las dos ecuaciones los valores de bi sern distintos en cada ecuacin. Con eso

el aumento debido al trmino adicional no es simplemente bk E xk y.


Con los mismos datos de arroz, se puede resolver una ecuacin lineal de forma

y = a + b x1 sea y = a + b N.


El valor de b es E x1 y / Z x 1,

b = 4,875/9,0 = 0,5416


y de Y = a + b X resulta la ecuacin::



Y = 5,5206 + 0,5416 X


El valor de b en esta ecuacin es distinta al valor de bl de la ecuacin cua-

drtica. Para la prueba de "F' del trmino b2 N2 se puede calcular:







38 -




Fuente de Frmula Grados de Suma de Cuadrado
variacin libertad cuadrados medio

Total E y2 n 1 = 5 3,2483


Ecuacin lineal b Ex1 y k 1 = 1 2,6403


Adicional del
cuadrtico b1 Ex1 y +


b2 Ex2 y -


b ExI y 1 0,3476 0,3476


Error variacin
de ecuacin cuadrtica n k 1 =3 0,2604 0,0868


En lo anterior los valores del cuadrado medio equivalen a la suma de cuadrados

dividida por los grados de libertad correspondientes. El valor de "F".es Igual

a la proporc!n del cuadrado medio del trmino adicional al cuadrado medio del

error, 6 sea:

F = 0,3476 = 4,0046 g.l. = (1) y (n k 1) = 1 y 3
c 0,0868


En una tabla de "F", se encuentra que el valor calculado no es suficientemente

grande para hacer la relacin significante. Esto quiere decir oue basados en s-

ta prueba, la ecuccin cuadrtica no resulta en una representacin mejor de

los datos que la ecuacin lineal.








39 -





Pero entonces sta prueba queda en contradiccin a las dems! En cules pruebas

estadrsticas se puede creer? Qu se puede conclufr? SI la estadstica es una

ciencia precisa, cmo es que puede resultar en conclusiones contradictorias? No

se puede confiar en la estadstica?


Alguna de stas preguntas se contestarn en la seccin siguiente.



Informacin a priori y a posteriori


La estadrstica no es una ciencia en s, sino una herramienta para estudios cien-

tficos. Aislada de la realidad, la estadstica produce poca informacin y por

eso es necesario que el investigador conozca sus datos y tenga buena base en la

teorra de su ciencia. Sobre todo, es experiencia que es sumamente valiosa al in-

vestigador en el proceso de analizar la informacin de sus experimentos.


En la Figura 9, se traza los datos de la Tabla 2 y las dos curvas calculadas en ba-

se de los mismos. El problema es escoger entre las dos curvas -cul es ms repre-

sentativa de la realidad. A continuacin se presenta una tabla de comparacin de

los valores estadsticos de las dos ecuaciones.


Estadrstico Lineal Cuadrtica

R2 0,813 0,920

Sy .x2 Sy.122 0,152 0,0868

tb 4,1616 *J








40 -





tb 3,4590 **



t 2,0160 *



F c (ecuacin) 17,37 ** 17,21 **

Fc (trmino cuadrtico) 4,0046



** Significante a mas que 95%

* Significante a ms que 90%


El valor de la prueba de "F" de cada ecuacin es igual indicando que cada una

es igualmente significante. Pero la prueba de "F" del trmino cuadrtico indica

que dicho trmino no mejora significativamente la representacin del fenmeno,

el cual est respaldado por el bajo valor de "t" del coeficiente cuadrtlco. Por

otro lado la varfanza error standard de la regresin para le cuadrtica es la mi-

tad de el de la lineal, y el coeficiente de determinacin para la cuadrtica es

bastante mejor aue para la lineal.


Es probable que en base al puro anlisis estadstico uno rechace la curva cua-

drtica en favor de la lineal no obstante que el R2 es mayor para la cuadrtica.

La razn para rechazar la cuadrtica es la prueba de "t" del coeficiente b2 y la

prueba de "F" del mismo trmino. La prueba de "t" indica que el coeficiente no








41 -





es significativamente diferente de cero y la prueba de "F" indica que incluir el

trmino no mejora el estimativo de la respuesta.


Pero la teora y la experiencia con curvas de crecimiento y superficies de res-

puesta a nitrgeno, aseguran que tal respuesta no debe ser lineal si el rango de

dosis es suficientemente amplio. El rango de aplicacin de nitrgeno en los da-

tos parece bastante amplio para dar una respuesta curvilnea, y es cierto que

los valores promedios de las observaciones caen en una curva y no en una recta.


Por otro lado es posible que los resultados experimentales pertenecen a una curva

ms completa que una cuadrtica. Es decir, que dentro del rango amplio que se

tiene, pueden existir las etapas I, II y III, pero con nicamente tres dosis es

imposible determinarlo.


Entonces qu se concluye? La teorta indica que dentro del rango de los datos

debe haber una respuesta curvilnea. Los clculos estadsticos resultaron en

una curva, pero con unas pruebas no significantes. Pero, aunque todos los valo-

res de las pruebas no son significantes a niveles altos como 10% 6 5%, si se va

a concluir que la curva es ms significante que la recta, se tendr razn en

ms del 50% de los casos. (En este caso el valor de F Indica que el trmino cua-

drtico es significante a un nivel entre 15% y 20%).


Si es necesario hacer una conclusin basado nlcamente en los datos presentados

adems de la lgica terica y experiencia, la mejor evidiencia que se tiene es







42 -







que la respuesta de arroz a nitrgeno con 40 Kg. de P2 05 y 40 Kg. de K2 0 en

Corinto, Cauca es curvilineal entre O y 300 Kg. de N y que la produccin al-

canza a un mximo con alrededor de 270 kg. de N por hectrea. Con esta ecua-

cin se podra calcular la rentabilidad de capital invertido en abono y deter-

minar dosis ptimas para varias combinaciones de precios de abono y arroz. Si

se concluye por otro lado que la respuesta es lineal, nada de lo anterior sera

posible. La nica conclusin que se podra sacar es que si paga aplicar 100 6

150 kilos de N, tambin paga aplicar 200 Kg. y 300 Kg. y hasta 400 Kg. 6 ms

por Ha. Tal conclusin no es razonable.


Por lo tanto, es obvio que la lgica terica y otra informacin a priori y a pos-

teriori proveen por lo menos 50% de la materia para anlisis y el anlisis esta-

dfstico provee no ms que 50% de la misma. En resumen, en adicin al anlisis

estadrstico, el investigador tiene que contar con:


1) informacin a priori tales como teora y experiencia y


2) informacin a posteriori como la factibilidad de los resultados

fsica y econmicamente.



RESUMEN DE CALCULOS ESTADISTICOS


Los siguientes son los clculos necesarios para el anlisis estadstico de una

curva cuadrtica con una sola variable independiente de la forma







43 -




2
y = a + b1 X1 + b2 X2 donde X2 = X12 Estn listados en el orden ms fcil de

calcularlos.


1. D = (Ex12) (Ex22) (Ex1 x2)2


2.(Ex2 ) (Ex1 y) (x1 x2) (Ex2 y)
2. b =
D

(Ex2 ) (Ex2 y) (Ex1 x2) (Ex1 y)
3. b =
D

A 2
4. E y12 = bl Ex1 y + b2 Ex2 y


2 y2 A 2
5. S y.12 Y12

n k 1



6. S = / 2
S y.12 l y 12


2 A 2 2
7. R =E 2 / E


8. t = b1 / S 2 / x2 D g.. = n k 1
8. t. = bl / S ,- / Ex-' / D g.l. = n k 1








44 -






9. t2 = b2 /S y2 D g.1. n k 1


A 2
10. F 12 gk 1.= (k) y (n k 1)
C a- 1

y. 12








45 -

IV UN EJEMPLO:


ARROZ EN LA VIRGINIA, RISARALDA


Cuando se discuti la regresin mltiple, se presentaron los datos y se hizo el

anlisis preliminar de un experimento en arroz. Aqu se presenta la manera de

escoger la fc:ncin que se debe utilizar para formular recomendaciones para los

productores e Investigadores.


A continuacin se ve una tabla en ur.a forma similar a la sbana de computador

en donde se encontrar el nmero nombre de las variables, los valores de los

coeficientes, la varianza de los coeficientes y los valores de 't" correspon-

dientes, ms el valor de la constante de la ecuacin, el valor de R la varian-

za de la ecuacin y el valor de "F para la ecuacin. Para la ecuacin presen-

tada ( cuadrtica sin interacciones ) n = 30 y k = 6.


Tabla 5 Ejemplo de una parte de una sbana de computadora


VARIABLE B VAR 8 T

N 19.780838 46.914673 2.887954

P 62.871078 659.781982 2.447658

K 34.337997 659.783447 1.336823

N2 0.042673 0.000500 1.909041

P2 0.739203 0.098815 2.351535

K2 0.404807 0.098816 1.287760








46 -





CONSTANTE = 2499.876465


R CUADRADA = 0.580125


VARIANZA = 350233.437500


F CALCULADA = 5.296387


Al estudiar la tabla se puede ver inmediatamente que 58% de la variacin en ren-

dimiento he sido explicada por la regresin (R2 = 0,58 ). En s este valor no

es alto, pero puede ser aceptable si la ecuacin nos parece bien en otros aspec-

tos. Con una tabla de "F" con k = 6 y n k 1 = 23 grados de libertad, se ve

que la ecuacin en total es altamente significante (mayor que 99.5%). Este ni-

vel de significancia puede dar confianza en seguir estudiando los resultados

de las regresiones.


En esta forma sencilla en que se solicit la primera ecuacin (sin interacciones)!/

es fcil determinar el comportamiento de cada uno de los nutrientes y su rela-

cin con el rendimiento. Quizs lo ms importante es determinar la forma de la

relacin y, si la curva tiene un mximo, a que cantidades cada nutriente se al-

canza el rendimiento mximo.


Al estudiar los resultados es obvio que el rendimiento responde a cada nutrien-

te en forma curvilnea con mximo (sin preocuparAos con la significancia de la

1/ Ver P.26 para las ecuaciones solicitadas.








47 -




curva por el momento). Resolviendo para cada uno, se encuentra que el rendimien-

to mximo para cada nutriente se alcanza donde N = 231,9, P = 42,5 y K = 42,4

Kg/ha. De acuerdo con los anlisis preliminares que se hicieron, estos valores

son muy razonables. En cuanto a la significancia de los coeficientes, el valor

de "t" requerido para alcanzar a 90% (prueba de una cola) es t = 1,319 (grados

de libertad = n k 1 = 23 ). Todos alcanzan este valor con la excepcin del

coeficiente para K Pero el nivel para este es aproximadamente 85% y por ser

lgico y de acuerdo con el anlisis preliminar, se puede aceptar, por el momen-

to al menos.


Se puede decir, entonces, que se est, ms o menos, satisfecho con el comporta-

miento de los datos y la ecuacin. Pero hace falta el anlisis de interacciones

y de posibles respuestas cbicas. Por lo tanto, se debe estudiar las dems ecua-

ciones que se tienen. Es ms eficiente estudiar posibles efectos cbicos antes

de estudiar interacciones porque se quiere considerar las interacciones nica-

mente para la forma de ecuacin Que se ha escogido.


La novena ecuacin (ver la lista de ecuaciones que se pidi en la seccin "Es-

cogiendo curvas para ensayar"), es la misma que la primera con la excepcin de

que se incluye el trmino N El estudio de ste trmino no es tanto para deter-

minar su significancia estadsticamente como para determinar si hay un efecto de

la etapa I de produccin en los datos relacionados con nitrgeno que posible-

mente una curva cbica representa mejor la respuesta natural. La razn es oue si








48 -





en realidad existe un efecto de stos y no se conoce es fcil sacar conclusio-

nes erroneas.


Para estudiar la ecuacin 9, la cual no tiene interacciones, se puede escribir

la subfuncin de produccin, y = f (NIP, K). Se desconoce el valor de la cons-

tante, pero por el momento esto no representa ningun problema. La ecuacin es:

A 2 3
Y = A + 26,366211 N 0,098125 N2 + 0,000123 N3


Para estudiarla rpidamente, se calculan la primera y sequnda derivadas:

A 2
Y = 26,366211 0,196250 N + 0,000369 N


Y = 0,196250 + 0,000738 N


Igualando la segunda derivada a cero y despejando se halla que N = 266 aproxi-

madamente, sea que la primera derivada ier~ un mnimo donde N = 266, Figura

10. Igualando la primera derivada a cero, se encuentra que no existe tal solu-

cin. Esto quiere decir que la curva de la derivada siempre aueda positiva. Por

lo tanto, la funcin de produccin superficie de respuesta cbica no tiene m-

ximo ni mnimo, pero tiene una pendiente positiva en todas sus partes. El punto

de inflexin (de pendiente mrnima) se alcanza donde N = 266. Luego, se puede con-

clurr que la cbica tiene aproximadamente la misma forma que la cuadrtica den-

tro del rango de tratamientos y que sta forma no tiene tendencia a etapa 1. En-

tonces, no existe la necesidad de usar el trmino 3 en la ecuacin para evitar







49 -






problemas asociados con la etapa 1.


Una excepcin a la conclusin anterior serfa cuando el valor de R2 aumente sus-

tancialmente en la forma cbica sobre el de la cuadrtica. Por ejemplo, si el

rendimiento no tiende a disminuir, es posible que el R2 aumente con la cbica

reflejando esta tendencia.


Al estudiar la ecuacin cbica en P se encuentra que:


= A + 43,199814 P 0,118023 P2 0,005176 P3


A-2
Y= 43,199814 0,236046 P 0,015528 P


A,-
Y = 0,236046 0,031056 P


Se ve en la Figura 11, que aunque la ecuacin tiene una forma completamente

distinta a la ecuacin en la Figura 10, la cbica, dentro del rango del experi-

mento, muestra las mismas tendencias y etapas que la cuadrtica.


Como el R2 es casi igual, se puede concluir que tampoco hay una necesidad de

usar el trmino P .


En la ecuacin con K se encuentra otra situacin, Figura 12.


Y = A + 16,434433 K + 0,160553 K2 0,004711 K3








50 -





Y = 16,434433 + 0,321106 K 0,014133 K2

A-"
Y = 0,321106 0,028266 K


Aquf se ve una tendencia a etapa 1 en la respuesta a potasio dentro del rango de

las dosis. Con esta tendencia hay que decidir si la diferencia entre las dos for-

mas (cbica vs. cuadrtica) es lo suficiente para justificar el uso de la ecuacin

cbica en K, lo cual complicarfa los dems clculos.


Primero, se observa que el mximo de la cbica (K = 47) es similar al mximo pa-

ra la cuadrtica (K = 42,5). Generalmente si los mximos son similares, indica

que la forma cuadrtica es adecuada. Los valores de R2 tambin son similares

(0,5801 vs. 0,5855) Adems el valor de "t" de este trmino y el valor de "F "
c
los cuales son bajos, Indican que con toda probabilidad, la forma cbica no sea

la ms adecuada. Luego, se puede concluir en este caso que el error al usar la

forma cuadrtica ser pequeo aunque la respuesta tiene la tendencia a manifes-

tar la primera etapa de produccin en cuanto a potasio.


Por lo tanto, de lo anterior se puede concluir que para ningun elemento es nece-

sario usar la forma cbica para describir la respuesta resultante del experimen-

to. Luego, se puede usar la ecuacin cuadrtica y empezar el estudio de las po-

sibles interacciones.








51 -





Econmicamente, si no se incluyen trminos de interaccin en la ecuacin quiere

decir que se puede escoger la cantidad ptima de cada uno de los elementos inde-

pendientemente de los otros. Aunque es ms sencillo as, no es tan satisfactorio

tericamente como si la cantidad ptima de uno fuera dependiente de la cantidad

de los otros.


En el caso de arroz en la Virginia, se encuentra lo siguiente en cuanto a los

trminos de interaccin.


Para trminos adicionales

Ecuacin R2 b t F

Cudratica 0,5801 -

Con NP 0,5862 0,0570 0,570 0,32

Con NK 0,5906 0,0745 0,749 0,56

Con PK 0,5851 0,5228 -0,523 -

Con NP, NK 0,5967 0,43

Con NP, PK 0,5915

Con NK, PK 0,5958

Con NP, NK, PK 0,6019


En ningn caso se observan que los varios trminos de interaccin sean signi-

ficantes. Ni los valores de "t" ni de "F son altos, y el valor de R2 cambia
muy poco con el uso de la varia combnaciones de interacciones. Por tanto,
muy poco con el uso de las varias combinaciones de interacciones. Por lo tanto,








52 -





es probable que se puedan rechaza;' Sin embargo, es aconsejable estudiar el

efecto de las interacciones antes de tomar una decisin final.


Cantidades Opt imas

Ecuacin N P K

Cuadrrtica 213 42 41


Con NP y NK 221 41 48


Con NP, ,K y PK 222 43 47


Aqur se ve que aunque hay diferencias en czntidades 6ptimas para las diferen-

tes ecuaciones, la diferencia no es grande. Si se considera que en rnncun caso

se est xpilicando ms que aproximadamente 60% de la variaci:n de rendimiento,

el calculo de! valor optimo no ser exacto, no importa la ecuaci1.. En este ca-

so queda al gusto del investigador cul de las representac!ones de la superfi-

cie escocer porque todas tres son muy similares.


En el sentido puramente estadrstico, por no poder distinguir los trminos de in-

teraccin de cero, no se pueden usar en ia ecu:-cin. Usando conceptos agronmi-

cos y econmicos, se sabe que, en general s hay interacciones entre nutrientes

y por lo tanto puede ser preferible usarlos Dpra demostrar tal efecto aun si en

este caso tal efecto es poco modible. Pensando desde el punto de vista prctico,

por haber poca diferencia entre los resultados de la cuadrtica sin interacciones

y la cuadrtica con cualquier combinacin de interaccin, sera ms conveniente

usar la cuadrtica sencilla para sacar las ccnclusiones y recomendaciones.








53 -



V CONCLUSIONES DEL ANALISIS Y

RECOMENDACIONES


Buscar una superficie de respuesta y escoger una ecuacin que la represente no

es un fin en s. La superficie sirve como medio para alcanza' conclusiones en

cuanto al efecto de diferentes tratamientos y hacer recomendacionesa los pro-

ductores (los cuales son los clientes del investigador), y servir como una gua

para los o:'or?:mentos futuros del investigador.


COMO ALCANZAR CONCLUSIONES DIRIGIDAS HACIA EL PRODUCTOR


En relacin al anlisis de los datos para arroz en la Virginia, se puede con-

clufr que en este sitio, el arroz IR-22 s responde a varias dosis tanto de ni-

trgeno como de fsforo y potasio. Para el agricultor oue tiene amplios recursos,

la dosis ms adecuada para maximizar sus ganancias netas es de aproximadamente

200 40 40 de N, P2 05 y K2 respectivamente en kg/ha. Para ohternr tal do-

sis, se puede plicar 300 kg. de 14 14 14 ms 350 kg. de rea por hectrea.


Los testigos en el experimento resultaron en un rendimiento promedio de aproxi-

madamente 5 toneladas por hectrea, y de acuerdo con la ecuacin escogida, el

rendimiento con la aplicacin de 200 40 40 debe ser aproximadamente 6.8 to-

neladas. Para el productor, con una inversin de $1.152, en abono, el valor de

la produccin aumentarra $ 5.057 (de 14,000 para el testigo a $ 19,057 con el

abono). Sin considerar los dems gastos ni el costo adicional de la cosecha, es-

te representa $ 3.905.00 de ganancia neta adicional por hectrea ($5.057 -$1.152)

una rentabilidad neta de $ 3,38 por peso invertido en abono.








53 -



V CONCLUSIONES DEL ANALISIS Y

RECOMENDACIONES


Buscar una superficie de respuesta y escoger una ecuacin que la represente no

es un fin en s. La superficie sirve como medio para alcanza' conclusiones en

cuanto al efecto de diferentes tratamientos y hacer recomendacionesa los pro-

ductores (los cuales son los clientes del investigador), y servir como una gua

para los o:'or?:mentos futuros del investigador.


COMO ALCANZAR CONCLUSIONES DIRIGIDAS HACIA EL PRODUCTOR


En relacin al anlisis de los datos para arroz en la Virginia, se puede con-

clufr que en este sitio, el arroz IR-22 s responde a varias dosis tanto de ni-

trgeno como de fsforo y potasio. Para el agricultor oue tiene amplios recursos,

la dosis ms adecuada para maximizar sus ganancias netas es de aproximadamente

200 40 40 de N, P2 05 y K2 respectivamente en kg/ha. Para ohternr tal do-

sis, se puede plicar 300 kg. de 14 14 14 ms 350 kg. de rea por hectrea.


Los testigos en el experimento resultaron en un rendimiento promedio de aproxi-

madamente 5 toneladas por hectrea, y de acuerdo con la ecuacin escogida, el

rendimiento con la aplicacin de 200 40 40 debe ser aproximadamente 6.8 to-

neladas. Para el productor, con una inversin de $1.152, en abono, el valor de

la produccin aumentarra $ 5.057 (de 14,000 para el testigo a $ 19,057 con el

abono). Sin considerar los dems gastos ni el costo adicional de la cosecha, es-

te representa $ 3.905.00 de ganancia neta adicional por hectrea ($5.057 -$1.152)

una rentabilidad neta de $ 3,38 por peso invertido en abono.








-54-





En el caso de un productor de menos recursos, especialmente de capital para

invertir en abono, el uso de 300 Kg. de 14 14 14, ms 300 Kg. de rea (en

lugar del ptimo 350 Kg. de rea) disminuira su inversin de $1.152 hasta

$1.064 Esta dosis resultarra en una ganancia neta de $ 3.794 por hectrea pe-

ro un aumento en rentabilidad neta por peso invertido hasta $ 3,56. Con el uso

de 200 Kg. de rea con la misma dosis de 300 Kg. de 14 14 14, la inversin

sera $ 862.oo por hectrea, ganancia neta $ 3.176 y rentabilidad neta por pe-

so invertido en abono de $ 3,68. Estas cifras estn resumidas en la Tabla 6.


T a b 1 a 6 Anlisis econmico de varias dosis

( valores por hectrea)


Fertilizante Tratamiento Costo de Ganancia Rentabilidad
aproximado fertilizante neta neta de capital
kg/ha $/ha $/ha $
300 Kg.14-14-14
ms 135-40-40 862 3.176 3,68
200 Kg.rea


300 Kg.14-14-14
ms 180-40-40 1.064 3.794 3,56
300 Kg. rea


300 Kg.14-14-14
ms 200-40-40 1.152 3.905 3,38
350 Kg. rea








55 -





Tambin es de inters para el productor saber cules cambios debe hacer como re-

sultado de cambios en los precios de los insumos y los productos. Para proveer-

le la informacin se puede cambiar los precios y resolver las varias derivadas

para determinar los cambios en cantidades ptimas de los insumos.


En el caso de arroz, resulta que las cantidades ptimas de N, P y K no son muy

sensitivas a cambios en los precios de nutrientes ni del arroz.


COMO ALCANZAR CONCLUSIONES DIRIGIDAS HACIA EL INVESTIGADOR


El proceso de decidir cundo un investigador (6 un instituto) tiene suficiente

informacin sobre algun aspecto de un problema que se est investigando es com-

plejo y aqur no se puede llegar a tales conclusiones. Sin embargo, cada investi-

gador debe decidir si los resultados de sus experimentos son lo suficientemente

confiables para no tener que repetirlo, 6 si debe hacer algun ajuste y repetir

el experimento. Es cierto que en unos casos el investigador no puede alcanzar

ninguna conclusin apta para productores pero los resultados le sirven como gura

para disear otro experimento. Esto ocurre en ensayos de fertilizacin, por ejem-

plo, cuando todo el rango de tratmmientos queda en etapa I de produccin. Es im-

posible sacar conclusiones otiles para los agricultores pero el investigador tie-

ne buena base para disear otro experimento.








56 -





Al estudiar los resultados del experimento en arroz en la Virginia se puede

ver lo siguiente:


Primero, los resultados de la regresin no son altamente significantes (R2 de

0,58) aunque son suficientemente alta para dar recomendaciones preliminares a

agricultores. Sin embargo, es probable que con un control experimental un poco

mejor se puede mejorar la precisin. Tambin es posible mejorar la precisin ha-

ciendo cambios en algunos tratamientos.


La tendencia a demostrar etapa I en potasio nos indica que debe ser posible

mejorar el estimativo de la respuesta en forma cuadrtica al usar un rango de

tratamientos ms estrecho. Con una dosis mnima de 10 6 15 Kgs./ha. de K20,

toda la respuesta debe ser de forma cuadrtica.


Por otro lado, debido a que la dosis ptima de P205 y K20 es 40 Kg. de cada u-

na, el investigador puede hacer ms sencillo su ensayo sigulente si en cada

tratamiento varia nicamente nitrgeno, mientras mantiene fija la cantidad -

P2 01 y K2 0 en 40 Kg./Ha.


Al estudiar la respuesta cbica a nitrgeno, se observa que la curva empieza a

aumentar despus de alcanzar 266 Kgs./Ha. de N. Esta tendencia tambin apareci

en las grficas que se trazaron al iniciar el estudio de los datos. Aunoue pa-

rezca que el ptimo cae dentro del rango de dosis experimentales, el investiga-








57 -






dor debe pensar en estudiar la naturaleza de la respuesta con dosis mayores

que las incluidas en el experimento original. Podra, por ejemplo, disear un

ensayo variando N de 300 a 400 Kilos con 40 de P2 05 y 40 de K2 0. O podrfa

disear un experimento mas complejo y estudiar todas las interacciones con do-

sis ms altas.









51 -



VI DISEROS EXPERIMENTALES PARA SUPERFICIES DE RESPUESTA


Son muchos los diseos experimentales que se pueden usar para anlisis por

regresin y cuando haya datos disponibles de experimentos ya hechos, la clase

del diseo no es altamente importante. Es decir, que se puede hacer anlisis

por regresin de una variedad de diseos aunque la precisin varlar mucho en-

tre ellos. Por lo tanto no se deben botar datos nicamente por ser de un diseo

no precisamente para superficies de respuesta.


Por otro lado al iniciar un proyecto con el fin de conocer superficies de res-

puesta, se debe pensar en el uso de un diseo experimental especflcamente o-

rientado hacia esta clase de anlisis. Entre diseos aptos para superficies de

respuesta hay unos que son muy eficientes.en el uso de recursos y que proveen

ms informacin por unidad experimental. Ms adelante se discutirn algunas ca-

racterrsticas de diseos aptos para regresin y se detallar uno que es muy e-

ficiente.


Al discutir diseos experimentales para anlisis por regresin, lo importante es

el arreglo de los tratamientos y los niveles de las dosis, y no la ubicacin de

las unidades experimentales. En casi todos los casos las parcelas estn ubicadas

completamente al azar; el uso de parcelas divididas u otros diseos similares es

mTnimo








59 -




La clase de diseo ms apta para cualculer experimento y su tamao, depende

de una cantidad de factores, entre ellos el propsito del experimento, la dis-

ponibilidad de recursos investigativos, el conocimiento actual de la superficie,

y la precisin requerida en los resultados. Teniendo presente estos factores el

Investigador debe decidir cuntas variables se van a estudiar, cuntos niveles

de cada una, qu combinacin de estos se debe usar y cuntas veces se necesita

replicar cada tratamiento.


En general, para superficies de respuesta es mejor rebajar el nmero de reDlica-

clones y aumentar el nmero de tratamientos debido a cue la informacin adicro-

nal obtenida con mayor numero de replicaciones disminuye ms rpidamente que la

Informacin obtenida con mayor numero de tratamientos. Esto ocurre porque la su-

perficie est ajustada en base a todos los tratamientos a la vez. En este senti-

do, es mejor usar un diseo con cuatro tratamientos y dos renlicaciones, que dos

tratamientos con cuatro replicaciones. Tambin es ms ventajoso usar tres replica-

ciones de cuatro tratamientos que cuatro replicaciones de tres tratamlentos.


FACTORIAL COMPLETO


Un diseo de uso comn es el factorial t1 x t2 x ...... xtn donde 1,2 ...

n, representan las variables o factores independientes y t1 es el nmero de

tratamientos. En aeneral t = t2- o sea que el diseo es de forma tk donde t

es el nmero de tratamientos y k el nmero de factores.







60 -






Para ser apto para superficies de respuesta cuadrticas t debe ser 3 6 ms

para cada k. Para una superficie cbica, t > 4. Los tratamientos se deben

distribuir uniformemente sobre el rea de la superficie oue le Interesa al

investigador y el valor promedio de cada variable debe aproximar el nivel oue

se prevee como el ptimo o ms rentable.


Debido a que tratamientos adicionales rinden ms aue renlicaciones adicionales,

generalmente es mejor utilizar un mrntmo de 4 tratamientos para cualouier su-

perficie. Para un experimento de dos factores (N y P digamos) cada replicacin

reauiere 42 = 16 parcelas, 6 sea 32 oarcelas para 2 renlicaciones y 48 para 3

replicaciones.


Otra manera de disear un experimento similar serra con un 5 factorial en el

cual se replica nicamente el tratamiento central. Se podrra, por ejemplo, repli-

car el valor central cinco veces para obtener un estimativo del error experimen-

tal y tener un total de parcelas de 30.


La desventaja del diseo factorial completo es aue requiere demasiadas unidades

experimentales o parcelas relativo al nmero de parmetros oue va a estimar.

Por eso ha sido modificado para disminurr el nmero de rarcelas renueridas sin

disminurr la informacin y hacerlo as ms eficiente en el uso de recursos In-

vestlgativos.








61 -





COMPUESTO ROTATIVO: 1)


Un diseo que est basado en el factorial pero es ms eficiente en el uso de

recursos para estudiar superficies de respuesta es el compuesto. El compuesto

es un 2k factorial suplementado con 2k + 1 tratamientos arreclados simtrica-

mente alrededor del factorial. El centro es uno de los 2 k + 1 tratamientos y e-

quivale al valor codificado de O Los tratamientos del 2k factorial estn pues-

tos a distancias de + 1 desde el centro. Los otros 2 k tratamientos estn pues-

tos a distancias de + a1, + a2 ..., + ak desde el centro en coordinadas --

(+ a, O, ..., 0), (0, + a, O, ..., 0) etc. Se puede escoger la magnitud de "a"

de acuerdo con el fin del diseo.


Para estimar superficies de respuesta cuadr"':icas, un diseo sumamente eficien-

te es el compuesto con a escogido para hacer el diseo rotativo ( o sea un dise-

o compuesto rotativo), y con el tratamiento central replicado suficientemente

para dar una varianza uniforme sobre toda la porcin de la superficie de ms

inters al investigador.



Este diseo se basa en los siguientes:

a) Cochran, W.C. and Cox, G.M. Expcrimental Designs; John Wiley and Sons,
Inc. New York, 1967.

b) Heady, Earl 0. and Dillon, 'ohn L., Agricultural Production Functions;
Iowa State University Press, Ames, Iowa, 1961.

c) Hildebrand, Peter E. Un D'seo Experimental para Mejorar Recomendacio -
nes en Fertilizacion; informe No. 2, Departamento de EconomFa Agrco-
la, del Instituto Colombiano Agropecuario, Regional 5, Palmira Febrero
1971.








62 -





Se logra un diseo rotativo si se escoge a para satisfacer a = k/4 donde k,

como antes, es el nmero de factores independientes en el experimento.


k a


1 1,189


2 l,1414


3 1,682

4 2,000


k 2 k/4

Como en el caso del factorial, el centro del experimento debe aproximar el valor

que se prevee como el ptimo para cada factor. Tambin, se debe inclurr en el ran-

go del experimento el tratamiento con que se alcanza el rendimiento fsico mximo.


Si se denomina "G" como el tratamiento central con valor codificado de O, y M co-

mo el tratamiento igual al valor codificado de 1, se puede calcular los tratamien-

tos A, correspondiendo al valor de "a" con la siguiente relacin.


+ A = G + a (M G)


Diseo Compuesto Rotativo Para Un Factor Variable


Para ilustrar lo anterior, se emp'eza con un diseo sencillo en el cual se varfa

un solo factor. Se supone que la aplicacin recomendada del factor es de 150








63 -






kilos por hectrea y que se estima que el tratamiento aue lograrra el rendimien-

to mximo es 200. Por lo tanto:


O = G = 150

1 = M = 200

+ A = 150 + 1,19 (200 150)

= 150 + 59,5

A = 209,5 6 210

A = 90,5 6 90


Adems, se necesita el valor correspondiente a 1, lo cual es G (M r) 6

sea 100. De acuerdo con lo anterior, las dosis del factor sern: 90,100, 150,

200, 210 kilos por hectrea.


Para obtener uniformidad de varlanza en la sunerficie entre 100 y 200 kilos

por hectrea se debe replicar el valor central 4 veces. El diseo completo de 8

parcelas serra con dosis de 90,100, 150, 150, 150, 150, 200, y 210 kilos por hec-

trea. Con este dlseo hay 3 grados de libertad para estimar el error experimen-

tal con el uso de las 4 replicaciones del tratamiento central y 5 grados de li-

bertad para los valores de "t" y de "F" oara medir la significancia de la super-

ficie cuadrtica.








64 -






Debido a que las condiciones experimentales no son siempre tan buenas como las

deseadas, se puede inclurr replicaciones de los tratamientos no centrales para

aumentar la conflabilidad del experimento. Se ha encontrado que dos replicacio-

nes de los tratamientos no centrales son suficientes en la mayorra de las cir-

cunstancias para dar buena confiabilidad a los resultados. Tal diseo estar

completo con 12 parcelas. Se podra analizar en base de las 12 observaciones,

o se podrra calcular el promedio de los tratamientos no centrales y calcular

la superficie en base de los 8 valores resultantes. El segundo sistema manten-

dr la uniformidad de varianza entre los valores de 1 y 1.


En adicin a las 12 parcelas se debe incluir en el diseo unos testigos (entre

2 y 4) de utilidad para establecer un punto de referencia para los clculos

econ6micos. Pero los valores de los testigos no se deben usar para calcular la

superficie de respuesta.








65 -



TABLA 7.

1/
DISEMO COMPUESTO ROTATIVO CON UN FACTOR VARIABLE


No. de Tratamientos
Parcela Kilos/Ha.
Codificado (ejemplo)

1 A 90

2 A 90

3 I 100

4 1 100

5 0 150

6 0 150

7 0 150

8 0 150

9 1 200

10 1 200

11 A 210

12 A 210

13 Testigo 0 3/

14 Testigo O

15 Testigo O

16 Testigo 0


1/ Este diseo servir para un solo nitriente como nitrgeno o para un abono
completo como 10 30 10
2/ Mostrado en orden. Se debe ubicar todas las parceles al azar para el expe-
rimento.
3/ El testigo puede tener valor de 0, puede ser cualquier otra cantidad cue
es de uso comn en el rea. No se debe usar los testigos para calcular la
superficie de respuesta.








66 -



Diseo Compuesto Rotativo Para Dos Factores Variables



En un diseo con dos factores (N y P por ejemplo). G y M sern valores combina-

dos de cada factor. Con dos factores, hay 8 tratamientos arreglados alrededor

del centro en un rectngulo y una "estrella", Figura 13. Los tratamientos del

rectngulo estn colocados en las coordenadas ( 1,1) lo cual representa M,

(1, 1), (-1,l) y (-1, 1). Los tratamientos de la estrella se colocan en

las coordenadas (A, 0), (-A,0), (0, A), y (O,-A). Se escogen los valores de

-1 y de + A en la misma forma del caso anterior. Es decir que G = 0; M= 1

G- (M -G) = -1; y + A = G+ a (M G).


Utilizando como ejemplo para N, 0 = 200 y M 300, se tiene que con a =1.414


A = 340

1 = 300

0 200

1 = 100

A= 60

Para el otro factor, P, se supone que G = 100 y M = 150. Luego:

A = 170

1 = 150

O = 100

= 50

A= 30









67 -





Replicando los puntos del rectngulo y de la estrella 2 veces, el tratamiento

central 5 veces y con 2 a 5 parcelas de testigo, habrra de 23 a 26 parcelas

en el experimento completo arreglado de acuerdo con el cuadro siguiente.


Con este diseo las 5 repllcaciones del tratamiento central producen 4, gra-

dos de libertad para estimar el error experimental.


Al promediar las 16 observaciones no centrales y utilizando las 5 observacio-

nes centrales habla (13 6) 6 7 grados de libertad para los valores de "t" y

de "F" para medir la significancia de una superficie cuadrtica con la Inter-

accin NP.









68 -



TABLA 8.

DISEPO COMPUESTO ROTATIVO PARA DOS FACTORES VARIABLES


No. de 1/ Tratamientos
parcela Codificadas Kg/Ha.
N P N (ejemplo) P

1 -1 -1 100 50
2 -1 100 50
3 1 300 50
4 1 300 50
5 1 1 100 150
6 1 1 100 150
7 1 1 300 150
8 1 1 300 150
9 A 0 60 100
10 A 0 60 100
11 A 0 340 100
12 A O 340 100
13 0 A 200 30
14 0 A 200 30
15 0 A 200 170
16 0 A 200 170
17 0 0 200 100
18 0 0 200 100
19 0 0 200 100
20 0 0 200 100
21 0 0 200 2/ 100
22 Testigo Testigo 0 0-
23 Testigo Testigo O O
24 Testigo Testigo O O
25 Testigo Testigo 0 O
26 Testigo Testigo O 0



1/ Mostrado en orden. Se debe escoger todas las parcelas al azar para el
experimento.

2/ El testigo puede tener un valor de O 0, puede ser cualquier otra combi-
nacin de valores de uso comn en el rea. Pero es importante que no se usen
los testigos para calcular la superficie de resnuesta.








69 -





Diseo Compuesto Rotativo para Tres Factores Variables


No se puede demostrar grficamente como es el arreglo de tratamientos con

tres factores variables, sin embargo, es similar al arreglo con dcs factores

pero a = 1,68. Hay 14 puntos de rectngulo y estrella y 6 replicaciones del

valor central. Con las dos replicaciones de los 14 tratamientos no centra-

les y de 2 a 6 testigos, el diseo consta de unas 36 a 40 parcelas para el

experimento completo .


Para un ejemplo, se utilizaran N, P y K con los varios valores asf:



(G) (M)
-A I 0 1 A

N: 15 50 100 150 185

P: 25 75 150 225 275

K: 10 25 50 75 90







70 -

TABLA 9.

DISERO COMPUESTO ROTATIVO PARA TRES FACTORES VARIABLES
(EJemplo)

No. de r a t a m i e n t o s
Parcela 1/ Codificadas Kg./ha.
N P K N P K
1 1 1 50 75 25
2 1 1 50 75 25
3 1 1 150 75 25
4 1 1 -1 150 75 25
5 1 1 -1 50 225 25
6 -1 1 -1 50 225 25
7 1 1 1 150 225 25
8 1 1 -1 150 225 25
9 1 -1 1 50 75 75
10 1 1 1 50 75 75
11 1 1 1 150 75 75
12 1 -1 1 150 75 75
13 1 1 50 225 75
14 1 1 1 50 225 75
15 1 1 1 150 225 75
16 1 1 1 150 225 75
17 A 0 0 15 150 50
18 A 0 0 15 150 50
19 A 0 0 185 150 50
20 A 0 0 185 150 50
21 0 A 0 100 25 50
22 0 A 0 100 25 50
23 0 A 0 100 275 50
24 0 A O 100 275 50
25 0 0 A 100 150 10
26 0 0 A 100 150 10
27 0 0 A 100 150 90
28 0 0 A 100 150 90
29 0 0 0 100 150 50
30 0 0 0 100 1'0 50
31 0 0 0 100 150 50
32 0 0 0 100 150 50
33 0 0 0 100 150 50
34 0 0 0 100 1502 50 2
35 Testigo o/ o/ -
36 Testigo 0 0 0
37 Testigo O 0 0
38 Testigo 0 O O
39 Testigo 0 0 0
40 Testigo O 0 0
1/ Mostrado en orden. Se debe ubicar todas las parcelas al azar para el exnerimento.
2/ El testigo puede tener un valor de O- 0 0 6 puede ser cualquier otro valor
de uso comn en el rea. Pero no se debe usar los testigos para calcular la
superficie de respuesta.











Producto Producto P roucto



Lineal Cuadrtica





Insumo Insumo
la. lb.


Producto Producto





Rarz Cuadrada | / Cubica




Insumo Insumo
Ic Id.



Producto




Logaritmica





Insumo
1 e.



FIgura 1
Superficies De Respuesta de 2 Dimensiones
































X.Px
i i





CF

5i1
I!











i3





Cantidad de I nsum
X


Funciones De osto, ngreso y Utdad
$ I
Utilidad
Mexima

3


i !

I


Cantidad de Insumo
X
Figura 2

Funciones De Costo, Ingreso y Utilidad










7500

Arroz Kg/Ha.


7000



x
6500

O


6ooo
6000 ....




5500

Q :1: OCbservacin
SX :=:: Prormedio

5000





0 75 150 225 300
N- Kg/Ha.
Figura 3
Respuesta De Arroz IR-22 A Nitrgeno

En Corinto, Cauca con P,1O=K20=40 Kg./Ha.
'5 K2a4 S/







Y 6975 ---------


6675 ------------------------- --







6000 -v







5350 ----------------------
A N 150
y o -----i- ..1--.-i-P.- .-- g

5000







O 150 300


10~-
dY
dN 8.8 j- ---'.--


5



2 ... 00



75 225 N

Flura 4
Metodo A Ojo"
Par. Sl c Sp:..c..s 'e esespuesta












7500
Arroz
Kg./Ha.

7000




6500





6000 ....





5500





5000






S15 150 225 300

Nitrgeno Kg./Ha.

Figura 5

La Superficie Sacada "A Ojo"











C>- 0' 0%
o oi o r'
si o oo o> e'















o
J'J

C))

C3
j -j


1vi
1
0>
o
Vi ___ ___


IL i Ul
oo

C>


COo -e
o __ vi

oo

o
vi
vi

N) O
CO
O o Me
O
0 ca
oc


ti


h)C)



,N>,
00
+




Nl
ca
o

~;oo
vir

+ C









Figura 6

P.espuesta de Arroz IR-22 A N+P 20 5+K 20 en



La Viriginia Risaralda











'.71 0% 0%
0 o o o uo 0 -o
O o O o O o o -i
o o o o o o o o
N








oI




o



o -.1







o -<






"71--
o0 -<


u o



-o


o ligra 7.7



Respuesta de Arroz IR-22 A P205+K20 con



Verlos Niveles De N, La.,Virginlfa Risaralda














o j~ o m o T Co -0
o u o o, :o
o oo o
0 0 O ,0 O O O








o








,f0

7o


o-













40 o"-' o
o o :
























0.
e "
oo





oo







o O









FI GURA 8


Respuesta de Arroz 1R-22 A N con Varios

Niveles de P205+K20, la Virginia,.Rsalda
FIUR 8

Repust deArI1-2 o a o










7500.

ARROZ
Kg/Ha

7000




6500.




6000




5500




5000.-







0 75 150 225 300

Nitrgeno Kg/Ha.



FIGURA 9

Comparacin de una Superficie Lineal

y una Curvilinea








Y










Y
t




I








I
I











266
dY
dN

































con la Primera y Segunda Derivadas
266

dY

dN2











FIGURA 10

La Superficie Cbica para Nitrdeno

con la Primera y Segunda Derivadas




































dY
S dP
I
i
























d.7 25
I















i\
I d2






























FIGURA 11












La Superficie Cbica para Fsforo

con la Primera y Segunda DerivadPs
LaSprfj CIIapr fr


con la Prnr eud lrvdi























Ti K 0






dK











K20
22





dK
















FI URA 12


La Superficie Cbica nara Potasio con
La Primera y la Segunda Derivadas










Factor X1




A







0 .- G..
1 o-------- ---------.-------^ M









A


-A -1 0 1 A

Factor X2


Figura 13

Disefo Comouesto Rotativo

Para Dos Factores Variables




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