Claude Dellacherie, 1971-1980

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Claude Dellacherie, 1971-1980
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Unknown
Language:
French
Creator:
Dellacherie, Claude
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Box: 1
Folder: Claude Dellacherie, 1971-1984

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Subjects / Keywords:
Mathematics -- History -- 20th century

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University of Florida
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System ID:
AA00007236:00001

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THE INSTITUTE FOR ADVANCED STUDY
PRINCETON, NEW JERSEY 08540


DELLACHERIE
SCHOOL OF MATHEMATICS



le 6 janvier 1971


Cher Monsieur CHUNG,



Je viens: just de rentrer de vacances, c' est a dire du Massachussets.
Je vous remercie pour votre petit mot (au fait, Meyer vient aussi de m'ecrire,
et ne m'a pas parole de la mort de Levy. Je lui demanderai dans ma response .
En fait, je connais tres bien votre "page" du seminaire. Quand, en feuilletant
les Annals of mathematical statistics, je suis tombe sur 1'article de Getoor-Rao,
je me suis content de lire 1'enonce du theoreme (cela m'etait familiar : j'avais
depuis un certain temps une idee de demonstration dans ma tate; mais, souvent,
j'ai une petite id6e et je n'ai pas le courage d'approfondir, trouvant que ce
n'est pas interessant). Ensuite, j'ai lu votre petit paper, et je n'ai absolument
rien compris aux dernieres lignes : trop "litteraire" pour moi e plus exactement,
j'ai cru comprendre que vous disiez que votre demonstration est une application
de la method de Rao-Getoor,
Ceci dit, je ne pretends absolument pas que "ma" demonstration est
la bonne demonstration : elle n'est ni court, ni elementaire, ni directed.
Ce que je voulais dire par "plus profound" est la chose suivante : en ce qui me
concern, je n'avais pas reussi A comprendre pourquoi d'un point de vue "intuitif"-
on obtenait dans le theoreme de Brelot-Cartan-Doob un ensemble semi-polaire et
non seulement un ensemble de potential nul comme d'habitude, et "ma" demonstration
m'a fait comprendre pourquoi : les vrais ensembles negligeablea du point de vue
de la theorie du potential ne sont pas les ensembles de potentiels nuls, mais
les ensembles semi-polaires car ils forment la plus grande classes d'ensembles
de potential nul invariante par changement de temps"
Pour en finir avec ce sujet, sur lequel je me suis peut-4tre etendu un
peu trop longuement, je voudrais citer -de memoire- ce que Meyer me dit au sujet
de "ma" demonstration. Cela lui rappelle la demonstration qu'Avanissian donnait a










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SCHOOL OF MATHEMATICS

Verdier du fait que la series harmonique est divergent : d'apres Weierstrass:,
les combinaisons des monomes x sont denses dans l'ensemble des functions
continues sur [0,1]; d'apres Munts, les conbinaisons des monomes xni sont denses
si et seulement si la series des ni est divergente : done la series des n est
divergente;, Je n'ai pas reussi h determiner la quantity de moquerie continue
dans cette reflexion de Meyer...

Lorsque j'etais a Standford, je vous ai parole' de quelques remarques
nouvelles en theorie des processus (j'ai une dizaine de remarques du genre
a rediger pour le prochain seminaire, et je n'arrive pas a m'y mettre'
A partir de l% semaine prochaine, je vais faire ici ane series de conferences
sur les ensembles analytiques.,principalement, sur le theoreme de Mokobodzki
don't je vous ai parled-. Jsen ai commence une redaction, et je vous 1'enverrai
quand elle sera terminee). Bon, revenons a ce que je disais. J'ai oublie de
vous donner une remarque qui vous interBssera peut-etre. On connait des
decompositions additives et multiplicatives des surmartingales. J'ai maintemant
une decomposition multiplicative des sousmartingales. Plus precisement, ei (Xt)
est une sous-martingale > I, il existe un processus croissant (At) previsible
avec A = 1 et une martingale (Mt) tells que X =Mt.A Ma demonstration
snit un schema classique (cas discret, puis passage au continue mais C. Doleans
en a une autre a l'aide des integrales stochastiques.

Je suis tombe ces derniers jours sur un petit article de Scheinberg
(de Standford, que je ne connais pas) qui m'interesse beaucoup. Son titre est :
"Topologies: which generate a complete measure algebra". Pouvez-vous lui demander
de m'en envoyer un "reprint" (ou un preprint) ?

Mes a*ities




P.S. Je viens de recevoir le cheque de Standford. Encore merci pour votre invitation.
J'espere quejdans deux ou trois ans il me sera possible de venir a Standford pour un an
Je garde un souvenir inoubliable de mon petit sejour, et vous y 'etes pour quelque chose.







McGILL UNIVtERSFTY

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DELLACHERI PRINCETON, NEW JERSEY 08540
SCHOOL OF MATHEMATICS


le 15 decembre 1971





Cher Monsieur Chung,


Comme convenu, j'ai icrit a Azema pour qu'il
vous envoie ses derniers articles.
Au t, 4 cwCu. /
=A B. o voyage du retour, j'ai trouve un petit
appendice a mon theoreme sur les semi-polaires et
a celui d'Azema sur les supports fins. Je crois
que cela peut vous interesser.

THEOREME.- Soit (P ) un semi-groupe de Hunt verifiant
1'hypothese (L) de Meyer. Si un borelien B est de
potential nul pour tout processus (Yt) obtenu par
changement de temps strictement croissant a partir
de (Xt), alors B est semi-polaire.

D~IONSTRATION. Si B n'est pas semi-polaire, il
content un ensemble finement parfait (moi)Y
Il existe alors une fonctionnelle additive continue
(non nulle) (At) portee par B (Azema) : B n'est pad
de potential nul pour le processus (Yt) obtenu a
partir de (Xt) par le changement de temps (At + t).













COROLLAIRE.- (Getoor et Rao), Soit f une function
borelienne tell que PKf f pour tout compact K.
L'ensemble ou la function surmediane f differe de
sa regularisee est semi-polaire

Evidemment, ma demonstration est moins elementaire
que celle de Getoor et Rao (et moins general :
"Hunt", "hypothese (L)"). Mais je pense qu'elle
est plus "profonde" en ce sens qu'elle explique
ce qui arrive du point de vue probabiliste.


Mes amities






--


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SCHOOL OF MATHEMATICS le 5 fevrier 1972




Cher Monsieur Chung,


Votre lettre m'a fait grand plaisir. Grand plaisir, parce que je vois que
vous m'avez tres bien compris, et vous avez meme trouve un mot tres juste
pour qualifier cela : dynamique.

Mon theoreme : un ensemble (presque-borelien) non-semi-polaire content
un ensemble (p-b) finement parfait est une consequence de mon theoreme avec
"compact" au lieu de "finement parfait". Il se trouve dans mon polycopie,
dans un theoreme disant plusieurs equivalencesavec "semi-polaire".
Maintenant que je sais demontre directement, par les capacities, mon theoreme
sur les compacts, le theoreme sur les finement parfaits result facilement de
celui-la et du theoreme (assez facile) de Meyer (voir son "Lecture Notes") Z:
anus l'hypothese (L), un ensemble finement ernme se decompose d'une maniere
unique en un ensemble finement parfait(attention I le mot "finement parfait"
n'est pas tout a fait correct s'il existed des points reguliers pour eux-memes;)
et un ensemble semi polaire4 De plus un ensemble finement parfait est p.s.
rencontre suivant un ensemble non-denombrable par les trajectoires qui le
rencontrent.

Le theoreme d'Azema doit paraitre dans la reaction de sa conference au
petit congress de probagilite's qu'il y a eu 1'annee derniere a Strasbourg :
il doit se trouver dans notre prochain Lecture Notes. Cependant, j'ai demand"
a Aerma de vous envoyer ses papers; je ne sais pas s'il l'a fait.
Azema a deux papers qui doivent vous interesser : celui-la, et un autre.
Je les ai tous les deux ici : ms si vous n'avez rien recu, je pourrai
vous faire des xerocopies et vous les envoyer. Malheureusement, le premier
pmwit paper, dans sa premiere version, etait excessivement mal redige, et je
n'ai que celui-la. Azema part d'une idee tout a fait simple, mais tries ingenieuse,
et tries fructueuse. Il consider la tribu engendree par des intervalles
stochastiques, mais en construisant ces intervalles non pas avec des temps










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d'arr t, mais avec des temps de retour. Cela lui permet d'obtenir des proprietes
algebriques reliess aux operateurs de translation) come proprietes de mesurabilite.
Entre autres, il a un bon critere pour dire qu'un processus (Yt) adapted e-
a la famille des (F) d'un processus de Markov (Xt) est de la forme (foXt),
ou f eat une function sur a~rae l'espace d'etat D'autre part, le theoreme
de projection de la theorie general des processus lui permet de construire
une vraie fonctionnelle additive a partir d'une fonctionnelle additive "non adaptee".
Et une telle fonctionnelle additive "non adaptee" est construite come etant
un processus croissant mesurable par rapport a sa tribu construite avec des
temps de retour,

Si vous regarded les toutes dernieres pages de mon polycopie, vous verres
que j'ai construit, pour tout finement parfait, une measure ne chargeant pas
les semi-polaires admettant ce finement parfait come support fin. Je n'avais
pas su construire une fonctionnelle additive dans le cas general, mais je
l'avais fait sous de bonnes hypotheses de dualite : Azema a reussi a se passer
de ces hypotheses.

J'en viens a la demonstration di corollaire a partir de "mon" theoreme. Je dois
avcuer que j'ai un peu oublie le contenu du corollaire... Pour moi, la theoriese
du potential" attache a un processus (Xt), c'est l'etude des invariants par
changement de temps. L'invariant fundamental, c'est le cone des functions
excessive, et le theoreme de representation de Meyer, c'est, en gros ( =roughly),
"toute function excessive est un potential de function pour un changement de
temps bien choisi".De meme, les measures "harmoniques" (les noyaux PB), sont
des invariants, et vous saves sans doute que Blumenthal, Getoor et Me Kean
ont demontre que deux processes standards ayant les memes measures harmoniques
se d-s akm t 1'un de 1 autre par changement de temps. Si je ne m'abuse, on a
de 4ime la construction d'un processus de Mkkov admettant un cone de functions
excessive donnees (avec definitions, et bonnes hypotheses etc)(le cone des
functions excessive determine d'ailleurs, sauf erreur, les measures harmoniques).
Les functions surmedianes ne sont pas invariantes par changement de temps
(ni les ensembles de potentiels nula). Mais une function & borelienne f
telle que PKf g Pf pour tout compact K verified cette propriete pour tout








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changement de temps, les PK etant invariants. Comme cette inegalite entraine
que f est surmediane, l'ensemble de ces functions est un ensemble de functions
surmedianes pour tout changement de temps, Maintenant, 1'ensemble ou f differ
de sa regularisee excessive est de potential nul, et la regularisee excessive
est intariante par changement de temps : 1'ensemble exceptionnel est done
un ensemble de potential nul invariant ~jamr (ce qui est invariant, ce
n'est pas ensemblel, mais sa propriety 1) par changement de temps.nl est
done semi-polaire d'apres mon theoreme.
I.-
J'en viens maintenant au problem de "polaire" "semi-polaire". Blumenthal
et Getoor ont trouve un "bon" critere pour qu'il en soit ainsi (voir leur
livre) : si deux saa.ir semi-groupe (Pt) et (r) sont en dualite,
une condition necessaire et suffisante pour que les polaires soient semi-polaires
(je rappelle que Meyer a montr5 que les polaires et les semi-polaires -&6 b- So-et
les memes pour (Pt) et (Pt)) est que I6adherence fine et 1'adherence cofine
d'un ensemble ne different que par un ensemble polaire~ En particulier, si
(Pt) (P ) (cas du movement brownien), la topologie fine coincide avec la
topologie cofine, et done les pA semi-polaires sont polaires. Je crois, que
du point de vue "generateur infinitesimal", dans les diffusions, ncpeut dire,
au moins en gros, que les semi-polaires sont polaires si le generateur est
un operateur differentiel elliptique, et ne sont pas en general polaires
si le gene'rateur est un operateur differentiel parabolique.

Comme l'a montre Azema (dans son second paperr, l'hypothese (B) de Hunt,
et en un certain sens, l'egaliteu "semi-polaire" "polaire", est lie non
pas au temps d'entree dans les ensembles, mais aux temps de sortie1

Je pense que vous vous etes trompe en regardant le cas des ensembles "very thin" :
dans le cas de la translation uniform, les points sont "very thin", 1'hypothese (B)
est verifiee, et les points, semi-polaires, ne sont pas polaires. L'hypothese (B),
sauf erreur, entraine que PB o PB PB si B est finement ouvert (en tout cas, si B
est overtt, mais ce neest pas vrai pour B quelconque. En fait, tout ensemble
semi-polaire est toujours la reunion d'une suite d'ensembles "very thin"
(voir le ~wst Lecture Notes de Meyer). Du point de vue "trajectoire",














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SCHOOL OF MATHEMATICS

/
un ensemble "very thin" est un ensemble qui est rencontre par les trajectoires
suivant un ensemble d'instants de TR discret et sans point d'accunmlation'


Mes amities






P.S. : Je viens de recevoir une lettre de Spitzer. Je serai sans doute a Cornell
du 15 mai au 15 about






DELLACHERIE
UNIVERSITY DE STRASBOURG
PART NT MATHMATUE 67STRASBOURG. er juin 1974
DtPARTEMENT DE MATHIMATIQUE
RUE RENt DESCARTES
TEL. (eB) 35.34.02






Cher Monsieur Chung,

J'espbre que vous appr6cierez la rapidity de ma r6ponse...

1) Je ne suis pas d'aocord avec votre demonstration. En effect, voici un contre-
exemple. Prendre 0 = [0,1i, P a measure de Lebesgue, F = la tribu des ensembles
Lebesgue- mesurable et F F pour tout t (auquel cas, pr6visible a bien measurable
n measurable Je dis qu'il eiiste alors un processus .., X(t,), evanescent, tel
que X(.,w) soit bor4lien pour tout u, mais qui nest pas mesurable (bien sur,
il est indistinguable d'un processes mesurable, le processus nul). Voici une
construction : prendre N dans Q borelien non d6nombrable de measure nnlle; se
donner une application surjective i(.) de N sur l'ensemble I des ordinaux denon-
brables, et pour ohaque ueN, choisir une function borelienne X(.,O) de classes
de Baire gale & i(w); enfin, poser X(.,w) 0 pour wjN. IL est clair qu'on
a bien d6fini ainsi un processes evanescent. D'autre part, etant donn6e la g4nera-
tion de 1'ensemble des processus mesurables & partir des prooessus mesurables
& trajectoires continues, par recurrence transfinie sur I, on voit facilement
qu'etant donn6 un processus measurable Y(.,.), il existe un ordinal d6nombrable
qui major l'ensemble des indices de classes de Baire des functions boreliennes
Y(.,w), w parcourant a. D'oh X(.,.) ne peut Stre measurable.

2) Pour une grande parties de la theorie g4ndrale des processes, il n'y a aucun
inconvenient de prendre come definition, disons, la definition faible que vous
donnez (par example previsible (sens faible) = indistinguable d'un previsible
(sens fort = definition par ex de mon livre)). Je pense que c'est la definition
faible que Meyer a prise dans son Lecture Notes "Integrales stochastiques I".
Cependant, les d6veloppements recents de la theorie gen6rale des prooessus
montrent qu'on a parfois advantage a prendre la definition la plus restrictive
possible. En fait, une definition encore plus resteiotive que celle de mon livre t
il vaut mieux travailler le plus possible aveo des tribus F non "fortement"
-t
compl4tees, ni meme compl6tees (il y a.jmgme.des cas o c'est impossible, parce
qu'il est interessant de travailler sans measure de probability) et il est m8me
utile parfois de travailler avec une famille (F ) non continue & droite.
Les travaux auxquels je pense particulibrement sont oeux de Foellmer measuree
associe aux surmartingales qui ne sont pas forcement de la classe (D) et, plus
g4ndralaent, aux "quasi-martingales" ) et oeux d'Azema (retournement du temps










en th6orie .g4nrale des processus). C'est ainsi que la measure de Foellmer,
si la surmartingale n'est pas de la classes (D), est port4e par un graphe
evanescent (voir l'expos6 de Meyer dans le volume VI du s6minaire).
Ii y a toute une thdorie "alg'brique" 4minemment interessaate des temps d'arrit
et processus d4finis sur les espaces 0 canoniques spacess de trajectoires
continues k droite, ou continues a droite et B limits a gauche, eta) qui doit
se faire sans measure de probability sur Elle a&6 commence par CourrAge et
Priuoret, continue par MarMeyer (voir son expos sur les t.d'a. algebriquement
previsibles dans le m8me volume VI) et a trouv6 une belle justification dans le
retournement du temps d'Azsma. Une des clefs de oette theorie est que dans de
bonnes conditions'et avec une bonne definition des processes pr6visibles, la
tribu previsible est une tribu de Blackwell.

3) Meyer et moi sommes en train de re4ctire-le livre "Probabilit4s et Potentiel"
Les trois premiers 9hapitres sont presque achev4s. Le quatribme (G4n6ralit6s sur
les processus) est commeno4; il contIpdra en particulier cette etude algibrique
des spaces canoniques.


Mes amities








Dellacherie
UNIVERSITY DE STRASBOURG
DEPARTMENT DE MATHtMATIQUE 67- STRASBOURG. LK 14/10/77
7. RUE RENI DESCARTES
TiL.(88e). 35.34.b0






Cher Monsieur Chung,

Je vous remercie beaucoup pour votre lettre. J'a i tr&s sensible aux compli-
mrents pour mon livre, sans savoir si'ceL es'vraipent miriti En effect, ctest
-quand meme un peu trop abstract, et il lui manque au moins un chapitre d'appli-
cations. Dans le manusorit qui m a servi'a passer ma those (je crois que vous
en avez eu un), il y avait des applications aux processus de Markov, et, 'en
particulier, l'*tude des ensenibies semi-polaires. Malheureusement, 6bmmxne vous
le saves sans doute, j'ai eu, i'1l'-poque de la r6daction definitive, qielques
-probimies de saritementale qui ne m'avaient pas permits diachever la moniographie
comme e 1'aurais voulut...

En ce qui concernent les ref4rences .4ps a#ticles.,publids pour lee problem des
ensembles semi-polaires, voil& ce que l'on peut dire. Plaqons nous sous les
hypotheses suivantes (je reviendrai plus loin sur le problame des hypoth ses) :
processus,4e Hunt, hypoth&se (L) CQ a alors deux caracterisations de nature
diff6rente
c1) oaracthrisation potentialiste : un ensemble presque-bor~lien est ,.p'. ssi
tout compact inclus est s.p.
2) carac erisation probabiliste : un ensemble p.b. est 's.p. ass :t t : Xt(w)...)
est'denombrable pour presque-toute trajectoire w

(il y a une 3ame, avgc les fonotionnelles additives continues : c'est Az4ma qui
1.'a vraiment, trouvee modulo 2))

1) et; 2) se trouvent dans mon ekpos4 du 's4minaire III, Mais ,o'est vrai que 1)
se trouve aussi, rapidement traits, dans ma monographie (p .34 ex 15-4)). Main-
enant,. une foise que 1) est Otabli, il. est "relativement simple i'Qbtenir .la4
parties difficile de 2)., En effect, si Bn' et. pas semi-pola4.re, il contientun
compact K qui, n'est pas. semi-polaire et donor, d'aprs le, rsdult.t ,.Lecture
NMotes de. Mey er, il nest pas vrai ;que K. (et .a fotLoi..) ,st rencontr4 en..un
ensemble d4nombrable de temps pour presque toute trajeotoire. Ii reste..,cependant
que vous aves raison 1 2) ne resulte pas immediatement du contenu du livre.,'


10.3ps












J'en viens maintenant aux hypothese : HunT (L) On peut en fait~ 'ravailler
sous des hypotheses minimales, i.e. supposed que le processes est seulement
fortement markovien (mettons, avec les functions excessive presque-boreliennes ;
Getoor a montr4 il y a quelques annmes qu'on pouvait faire beaucoup de choses
sans cette hypothese, mais je n'ai pas encore bien regarded tout cela), aveo
un space d'6tats lusinien m6trisable, sans hypothese (L).'On obtient alors,
au prix de quelques difficulties supplmentaires, A peu prbs lea memee thporemes.
Jq dia & peu press pacee que J ii
,faut remplacer dans 1) et 2) "semi-polaire", par une notion un peu ,plus faible
que j'ai appelee "preesque semi-polaire*" : un ensemble p.b. F est dit presque
s.p. si, pour toute measure initial m F est pP-indistinguahle d'un ensemble
semri-poaire (qui peut d4pendre de m). En fait, je n'ai jamais vu d'ensemble
presque semi-p.olaire qui ne soit pas semi-polaire, mais je pense que cela doit
exister. Je cheroherai a en exhiber un Iqrqu'on m'aura exhiber un preaque-bordlien
qui nest pas bordlien... Tout cela se trouve dans la parties nonpubli4e du
manuscript de mon livre (pr4cisemment, si vous avez oe manuscript, p 120 on dit
qu'on ee place sous x 'l'hypothfse 'rforteienit- markovien 4 (L)" mais ono
t raite e problimed sans L(L) p 127). :.Je viens de ijeter un 6oup d'oeil dans mon
expose dau asinaire IIA ,'et je d me rends compete que je supposais dJ&j le
processus fortement markovien (+(L) ; j'avais compigtemnt oubli6] ] .

Caei dit, i1 est q:lai, qt'il manque un expose de synthase sur la oaract4risations
des ensembles semi-polaires. Mais cela va venir, oar j'ai intention d'en
4crire un pour le s6minaire XII (at votre lettre .me renforoe dans cette id6ee)
En effet, A l'aide d'un tres joli th9or me e Mokobodzki (-
%lMwiwriM ff MA qui permet d'avoir des rdsultats sur les ensembles "6paiaw
beaucoup plus pueisiants que oeux que j'avais t'abli j ai fini par r sdudre
positivement la conjecture sur les ensemble s'emi-polires que j'avais publib6
Sdans: le;: sminai're -II je croies (j:e n'ai pas le volume ioi). Je vous dis,' repidement,
..de. quoi i a agit.
D aboi*, e16 rsAutiats de Moki6bodzki', qui rsoelvent deux probAinmes que m'avait
pbos'i'orbwitz. Sboeit XY es spaces' trisables c pacts, et un parti
aalyique de XxY (la e ~~p ie difficie, modu od rs bien'coniius':st

ijioktl AL (fst}

6~~i (7i~:~ c









UNIVERSITY DE STRASBOURG
67 -STRASBOURG, LE
DEPARTMENT DE MATHEMATIQUE
7. RUE REfNt ESCART-ES'" .
TEL. (88) 35.34.02


Onmunit Y "d'une probability P (perser que, pour un probabilis'e, 'Y '' et X = [0,1])
et on considere la function d'ensemble I definie sur les parties; die'X par
1(A)'r t 1*projyFh(AxY)
Si F est compact, i est une capacity (iais noter que ce nest pas tbut A fait la
capacity "usuelle" en proba car ee est dfinie sur les parie Xef non
sur les parties de XxY). On os pse mainenant les probleAmes -suivants "-

a) On suppose I domine par une measure, i.e. il existe une probability m sur X
tell que pour K compact, m(C)0 > ( 6 0 Peut-on firmer que,
P-";el16n y e Pt iator- dnombrable.
pour P-presque tout y, la coupe (y)de selon y et alors denombrable

b); On suppose I absolument continue ,par rapport a&,une measure, i.e. il existsq une
measuree de proba m-.sur X tell que ~~lon;:ait : pour :tout. e>., ,ii existed .r>..O tel
que,. pour .tout corpat -K .a(K) <6- .. I(CK) < u, Peut-on affirmer: que, pour.
P-presque tout y la coupe F(y) est alor.sfinie ,?

a) et b) sont les problems d'Horowisz. Mqkobodzki a d6mogtrzqu'pn ,goiuait
r.Ipqndre oui ,. .chacun, des-deux (son article parrar dans le s minaire XII)

Deux remarques, avant 'e passer aLx nemtblse semi-po'laires' ::
1) Lorsque X=Y ='E6,] i';-:P: m 'msaire 'de Lebesgue i"F-'=graphe de function
:continue L Xidani Y les reponses positives soni' donnde'sspri~ deiix heori~i s
:de Banacnhi ssez '61adiqued ,(of le livrei de -Saks) :Mais e ast Vraiimet 1ie cas
facile, ; elii 'que je 'sai imM6diatement trailer aveom6 s ensembles 'mincesw .
62)Les rciproque doe a) et b) 'sont asi vral s ie (ie. p : :ooupes'P-p.s;6 P
denombrables =>:I -dominie ( P o boupes 'P-p. .. finiies : I "absaolment l..ontinue)
Pour b) c'' est' ase :simple,, :PPour a), '"oet at'aUs asses simple1 'modt8ilo Ie. thdorame
'difficile de 'isin (&-asoiso i 6Fi analytique est a coupes ddonombrables tle' long
de X alors il existe une suite de functions boreliennes (fn) de' Y:dansrwAtelle
,que P,,soit contennudans la reunion ,de graphesedes f1,9C t i th.oreme.gue j'ai
employee, danss le pas _, F. est.bordlien, pour mes ensembles minces dans mon.
expose du seminaire III). 11 est remarquable ,qe, les,deu. sens de. a),:sont vches.

J'en yiens ax ensembles semi-ppqi ires ,.pgqr ere sr de ne pas 4iru e 4 b'tses
(jp n.ai pas enoor0 ecrit. tout cela), je suppose mpn processes de Hu nt (),
mais c'est sans doute inutileq O ?.ieni aglrs de"x nouvelles or.ct risations
int6ressantes des ensembles semi-pplaires, & savor












1) oaracterisation probabiliste : un ensemble p.b. B est semi-poilare-ssii :
a) pour tout xeB {x) est semi-polaire
b) pour preqe toute trajectoire w 1'ensemble ix s xeB et t. X .(W).x)
est d6nombrable (autrement dit, alors que dans la premiere caract risation proba-
biliste, on dcrivait que B est denombrablerept rencontr4 dans le temps, on eorit
ici que B est d4nombrablement renoontr4 dans l'espaoe I Il est 4videmment clair que
denombrablement rencontre dans Le temps a denombrablement renoontr6 dans l'espace.
II est aussi olair qu'il faut -oarter les points reguliers pour eux-memes dans
l'autre sens)

2) caracterisation pote ntialiste : un ensemble p.b. B estb~' mi-polaire ssi
,a) pour tout x e B {x} est semi-polaire
b) si (Bi)i. est une famille d'ensembles p.b, disjoints contenus dans B ,
alIrs { i B n'eit 'pas polaire) est domBbriable-(Ait0re(ent dit, -pour que A ,p.b.,
ng soit pas4 emi-poiaire, il faut eii-i' sffiit qulil cont'ennne un pdint regulier
pur'i luai-me u qu'il contienne ne- famiile Awi~mti i non d6nombrable
d'ensembles p.b, disjoints'ndn polaires)

Quelques c6ns4quenoes 'de ced resultats -:i
i I' espace -d 6tat 'a nst pah d4nombrable, ii ne deeut exister de measure de
probability m sur:lui .tel-que m(B) pa: P est, pplaire,
e..eore m(B) ..:0 Bes t semi polaj.
:i) a.si deux proeessus (de Hun t + (L) ,,;acv em@me espaoe d'tat, qnt les amees
points r4gglie3s pour eux-mi^nmes et les ,meies ensembles poaires, alqrs, ils. nt les
a1es ea-eailembl. semi-polaires m. a ,en fait -un peu mieux si tout point igulier
pour :le-~ aereprocgssuuseI r !gulier pour le !et,. t. si tut .polaire powur, Ieler
.eet polaire pour le .2me,.,; ors,- tistemi-pPolaire pour ler.eerest ,sei.plai.re
,pour IecII2~3e.![cela,au moins pour lee i.bprliens, c.ar les presq.ue-bor4liens peuvent
peout;!t re :ne pas treZo.lee mIes~p.ur les deuz 3 jr n'ai ,pas :enorp regard :cela
,s4eXi eaement)
Dono, cminm je akit doiPs rdiger tbu: cela pour le s:minaire XII je cofs que
je vais profiter'de~"'ioccasion pour ecrire un aiicle' e asynthise sur les iroblAmes
de caract6risation des ensembles semi-polaires,

Pour Ie bien,1'i faudrai aussi, oome vous -me'le sugg6rez, regarder ce iui se
passe pour les processus continus & gauche et mbodereiimt mairkoiienis. J*y9 ai'l
pr'8n un pe1t peiidepuis que j'ai' reu (otre lett e,' mais pas ncore enrieiuement
(je dois avouer que j'ai bea.uooup 6ubli4 esprooessus de arov oes derni&rea







annees. En fait, depuis trois ans, j'essaie surtout d'apprendre de
,la logique !).
Je m'excuse d'avoir du changer de paper, de machine aussi. Je suis
rentre chez moi pour terminer cette lettre, et je n'ai pas le meme
materiel qu'& l'institut... (contrairement A ce que l'on pourrait
croire, ce n'est pas sur la machine de Meyer que je tape maintenant .
But, as a good pupil, I have taken, for my own typewriter, the
same-type of characters).
Je continue en repondant a diverse questions souklevees par votre
lettre (en dehors des processus frk mod6rement markoviens, sur
lesquels j'espere avoir l'occasion de revenir dans une autre lettre).
En ce qui concern 1R+ vous avez raison : cela peut etre incom-
prehensible pour un lecteur de langue anglaise. Comme vous les
save, les francais, sous l'influence de Bourbaki, comprennenet
toujours "positif" = "0"', et done R+ = [0,+ o). La notations
frangaise habituelle -pour (O,+GD) est IR* .Je n'ai pas ici de
Bourbaki pour verifier si ce sont les notations de Bourbaki, mais
en tout cas, ce sqnt celles de Dieudonne dans son livre d'analyse,
et done p.s. celles de Bourbaki.
Au sujet de ma note p 71-72 du seminaire IV vous avez entierement
raison quant A vos critique /)aA cu lise effectivement le theoreme
sur les ensembles semi-polaires dans les trois dernieres lignes
en 6crivant '{XT F, X X_ T =U<(o comme reunion de
({XTe {x},...} et {XTeH, ...} : le theor&me sur les ensembles
semi-polaires me permet de dire que PX(X e {x},...} = 0 alors que
la parties 1) permet de dire que PXXTe H, ...} = 0
ii) le "finement ferm6" de la 2eme ligne de 2) est faux, et inutile.
J'ai sans doute mis q& parce que, en fait, on peut supposed F fine-
ment ferm6 pour demontre le theoreme (et, alors, c'est correct)
iii) je ne comprends rien du tout, moi aussi, A mon "par ailleurs,
... que" et j'adopte votre correction. Ceci dit, votre r6sultat
est bien meilleur, et quant A 1'nonc6, et quant A la preuve.
Il me semble d'ailleurs que votre 6nonc6 et votre demonstration
marchent pour X seulement fortement markovien, ayant des limits
A gauche : il suffit de remplacer "ouvert" par "finement ouvert"
(le (ii) march encore grace au th6oreme de Shih).

Au sujet des temps d'entree, j'ai demontr6 le resultat difficile -
suivant, A la demand de David Williams. Soit E = 0O,1] =-
les applications cadlag de 1R+ dans E Xt les coordonn6es, et
.= TSVP









et (FO) la filtration naturelle Soit T = inf {t> 0 (ou t O
si on veut) : Xt(w) = O}. Alors T n'est pas FO-mesurable (c'est,
dans mon jargon, une function coanalytique qui n'est pas borelienne
quand 0 est identifi6 un borelien de [0,1] +). Je vous enverrai
cela (c'est aussi & paraitre dans seminaire XII) quand q9 sera
r'dig6. Morality : on sort des boreliens a tout bout de champ en
theorie des processus stochastiques a temps continue. Bien entendu,
le S = inf t)> 0 (ou t O) : Xt(w) ou Xt_(w) = 0) est Fo-mesurable...

Je reponds maintenant a la toute derniere parties de votre lettre.
Comme vous le savez peut-etre, j'ai maintenant, come mon maitre,
une place au CNRS, ce qui, entire autres, me facility beaucoup les
deplaeements, Nous pensions (je + ma femme + mes deux enfants)
effectivement passer l'annee scolaire prochaine aux USA. Officieu-
sement, je suis accepted, comme naguere, a l'Institut de Princeton.
Je pense y etre de septembre 78 -a avril 79... Et j'e pense aussi
passer mai, juin, ojuillet en Californie, pour faire de la logique
a Los Angeles avec Moschovakis. Je me sens la un peu infidele
aux probabilistes de la c8te californienne, mais .je serai bien sur
disponible pour "faire" la .cte. Ceci dit, puiaque, malgre les
bas fonds des universities (nous esperons aussi survive en France,
tout au moins ceux-qui-sont-deja-assez-vieux-pour-avoir-deja-une-
place), vous ms m'avez proposer un petit sejour a Standford sans
savoir que je serai, a un moment, "presque" sur place, je ne refu-
derai pas (si c'est possible, naturellement) de me rendre aupres
de vous avant mon s6jour californien de trois mois. Cela me per-
mettaib de faire un detour par Los Angel4s pour veiller a l'heber-
gement future de ma petite famille...
Mes amiti6s




Dellacherie
UNIVERSITY DE STRASBOURG
DEPARTMENT DE MATHtMATIQUE 67-STRASBOURG, 15/1/78
RUE RENt DESCARTES
TL. (88) 35.34.02





Cher Monsieur Chung,

Je responds, avec quelque retard, & votre derniire lettre (de l'annee
derniere...). Domme le volume XII de notre s6minaire devait etre bou-
cl1 pour le 15 janvier, j'ai surtout passe mon temps,- ces dernieres
semaines, a r6diger mes exposes (je suis toujours en retard). Je n'ai
pas eu le temps, comme je l'aurais ;voulu, d'6crire l'expos6 envisage
sur les ensembles semi-polaires. Mais je vais m'y mettre bientot, et
ce sera pour le volume suivant... (bien entendu, j'aurai des tires A
part avant).

J'ai requ votre derniare lettre le lendemain du jour ou je vous en-
voyais mes "Quelques exemples..." (qui paraitront dans le volume XII).
Comme vous avez pu le constater, je suis alley au devant de vos sou-
haits puique. j'y montre comment on peut demontrer que les ensembles
en question ne sont pas boreliens. Bien entendu, je connaissais bien
l'exemple que vous a fourni Blackwell, qui est un des pnmiers exem-
ples historiques, et qui par ailleurs a l'avantage qu'on y voit piza
tout de suite apparaitre les ordinaux denombrables. Il y a une inter-
pretation probabiliste de cet example, particulierement simple si on
ne se content pas de regarder les suites de rationnels, mais aussi
les suites de r6els noterr qu'une suite de r6els content une sous-
suite injective decroissante si et seulement si elle ne constitute pas
un sous-ensemble de MRbien ordonn6 pour l'ordre habituel). Considbrez
l'espace d'6tats E = {O,1} puis l'espace Q des functions cad (sans
lag) de 9R +dans E : si S = {tt : Xt(w) n'est pas continue A gauche en t} ,
on voit que S est une parties bien ordonn6e de R+ ; r6ciproquement,
si S est une parties bien ordonn6e de 9+ on peut lui associer une
trajectoire w telle que S = S (w est "unique" modulo les changements
de 1 en 0 et de 0 en 1 ce qui fait quand meme beaucoup de w ...).
Il est clair que notre Q resemble beaucoup a ce que regardait Lusin,
et on peut montrer que 0 est une parties coanalytique, non borelienne,
de W = {0,1}Q+ : c'est un cas p~ticulier d'un des trois examples con-
sid6res dans mon expose (et c'est Meyer qui m'a signal, il y a quel-
ques annees, la similitude de cet Q avec les cribles de Lusin).

Ceci dit, vous avez tout a fait raison pour la plupart des remarques
sur la parties de ma these non publi6e (il est vrai, par example, que









Ao -o est vide Mais je ne suis pas d'accord sur le fait que ma
demonstration est trop court a la line -7 de la p 124. En effect
come on sait que Bk est evanescent pour k suffisamment grand (cf
V.T6 applique au cas oi le noyau parfait est evanescent !), on sait
tout de suite que Ak est evanescent, et done Fk polaire.
Je me rends compete, au moment ou je vous 6cris, que vous me pose
aussi des questions sur le Lecture' Notes de Meyer. Comme .je ne l'ai
-pas ici sous la main, je ne peux r6pondre aujourd'hui. Ce-sera pour
une autre fois....
Pour fihnir (pour aujourd'hui), voici un example tres simple de
measure non interieurement r6guliere. Soit m la measure sur les bor6-
lie'rs de [0,1] tell que m(B)= 0 siB est maigre (i.e. de la premiere
cat6gorie de Baire),' et m(B) = O siinod. Alors, si B est l'ensemble des
irrationnels, on a m(B) =D mais m(K) =0 pour tout compact K inclus
dans B En voici une autre, construite sur 1IN : prendre m(iB)= 0 si
B est contenu dans la reunion d'und suite de compacts, dt m(B) = (
sinon (on peut remplacer IN par tout space qui n'est pas un K ) .
Cette derniare measure est reguliere pour les fermes (i.e., si on rem-
place les compacts par les fermes) ; ce n'est pas evident (d6montr6
par St Raymond et Louveau).

Mes ami tis, et bonne ann6e





DELLACHERIE
UNIVERSITY DE ROUEN
FACULTt DES SCIENCES
ET DES TECHNIQUES
Bolte Postale no 67 le 17 mai 1980
76130 MONT-SAINT-AIGNAN
TLUPIOE (35) 98-28-0

Math6matiques



Cher Monsieur Ghung,


1) Votre lettra a mis quelques jours de trop a m'arriver,
1'adresse etant incomplete (cf ci-dessus). Bien entendu, c-'est de
ma faute : j'aurais du vous la communiquer plus tot

2) Ma sante se maintient a peu pres, mais cela me coqte cher
en psychanalyste...

3) Je n'ai pas encore redige mon "grand article semipolaire" ;
j'espere que ce sera pour cette annee. Je le destine au Seminaire
de Theorie du Potentiel (dirige par Mokobodzki et al., edited aussi
dans les Lecture Notes Springer). J'ai par contre redige ma confe-
rence "d'initiation aux integrales stochastiques" en fait depuis
janvier, mais, a cause de difficulties techniques ici, je viens
seulement d'en avoir des exemplaires lisibles. Je suis aussi en
train de rediger un article sur la mesurabilite des .dbuts et
les th6oremes de section, lisible par everybody. Je vous envoie
mes integrales stochastiques,_et une photocopie de ce qui existe
dejA sur les theoremes de section (il me reste a rediger un long
appendice, qui n'a rien a voir).

4) Comme -vous aimez Rouen, je repondrai a votre lettre par une
reponse de Normand (Rouen est la capital de la Normandie, et les
Normands passent pour r6pondre "peut-etre-bien que oui, peut-9tre
bien que non" aux questions qu'on leur pose). Etant donn5 un p-b
(=presque-borelien) fixed A, je sais definir simplement un t.d'a.
p.s. legal au temps de penetration dans A, mais je ne sais demontrer
simplement cette egalite p.s. que si A est finement ferm6.

Je rentre dans les details. On a un semi-groupe de Hunt, verifiant
l'hypothese (L). On se fixe un p-b A, et on demontre d'abord un
avatar du theoreme de Cantor-Bendixson

LEMME. A s'6crit A= Al A2 Ai p-b disjoints, avec A1 semi-polaire
et A2 vrifiant : pour tout xsA et tout voisinage p-b fin V(x)
de x, A2 V(x) n'est pas semi-polaire (sauf si A2= 0)- ce qui implique
que A2 est finement ferme dans A, et done finement ferme si A l'est,







D/ On pose A = {xsA : .V(x), voisinage fin p-b de x, tel que
Af V(x) soit semi-polaire}. Un resultat classique de Doob (et
pas difficile) sur 1'hypothese (L) entraine 1'existence d'une
sous-famille denombrable des V(x) considers dans {...} recouvrant
la m8me parties de A que toute la famille, A un ensemble semipolaire
pres proprietye de "quasi-Lindeloef"). On en deduit que Al est
semipolaire, et que A2= A-A1 a les propri6tes de 1'6nonc.e
Je pose maintenant UA= TA2 : UA est une espece de temps d'entr6e
dans A ignorant les ensembles semipolaires. Je designe d'autre part
par VA le temps de pe6ntration dans A : par definition, VA() est
1'inf des t>O tel' que l'ensemble {s(t : X (W)A} soit non-denombrable.
S
ILEMME. On a UA VA p.s. (pour toute loi initial)

D/ Comme tout ensemble semi-polaire est rencontre suivant du
denombrable, il est clair que UA VA. Lorsque A est finement fermb,
2 iA
A est finement parfait, et un resultat du vieux Lecture Notes
de Meyer-pas bien difficile si ma memoire est bonne (encore qu'on
y utilise sans doute la mesurabilite des debuts ; je ne sais plus
s'il y a le theoreme de section, je pense que non) dit que A2
est p.s. rencontre suivant un ensemble parfait pour la topologie
droite ; on eh deduit immediatement que UA=VA p.s. dans ce cas.
Dans le cas general, je sais le faire si je suppose que VA est
un t.d'a. (ce qui est vrai, mais je n'en connais pas de demonstra-
tion le6mentaire, meme en admettant la mesurabilite des debuts) :
en effet, les functions q(x) =-EXexp- UA] et I(x) Exexp- VA]
sont alors toutes deuJ\excessives (il est facile de voir que UA,VA
sont terminaux et exacts) ; l'ensemble {xeA V(x) ( 1} est semi-
polaire (car rencontr6 suivant du denombrable : vous m'4vez permis
d'utiliser cela) et finement ouvert dans A, done contenu dans Al
D'oh xsA et O(x)= 1 ( (> xEA2) entraine 1(x)= 1 et finalement
UA= VA p.s., en utilisant Markov fort.
Maintenant, si on sait demontrer facilement, en posant f(x).
EX[exp- T-], que {xA : f(x) ( 1} est semi-polaire (cela fait telle-
ment longtemps que je n'ai pas fait de Markov ...), on doit pouvoir
demontrer sans peine que TI UA p.s., ce qui doit quffire pour
d6montrer simplement que l'on a T- TA sous hypoth'se (B).
Mes amj"t s